第2章：极限与连续总结.ppt

2.1.2数列的极限 一、无穷小 二、无穷大 例3 解 （2） 2、 定义 例4 例4 解 例5 解 * 例 连续复利问题. 设有一笔本金A0存入银行, 年利率为r, 末结算时, 其本利和为 则一年 如果一年分两期计息, 每期利率为 且前一期 的本利和作为后一期的本金, 则一年末的本利和为 如果一年分n期计息, 每期利率按 计算, 且前一期 本利和为后一期的本金, 则一年末的本利和为 到第二年末的 为第二年的本金 本利和为 2.5 极限存在准则 两个重要极限 * 于是到 t 年末共计复利 nt 次, 其本利和为 令 则表示利息随时计入本金. 这样, t年末 的本利和为 这种将利息计入本金重复计算复利的方法称 为连续复利. 类似于连续复利问题的数学模型, 在 研究人口增长、林木增长、细菌繁殖、物体的冷 却、 到, 因此有很重要的实际意义. 放射性元素的衰变等许多实际问题中都会遇 2.5 极限存在准则 两个重要极限 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小的比较 2.4 无穷小与无穷大，无穷小的比较 1. 定义: 例如, 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. 3. 无穷小的运算性质: 1、 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 无限个无穷小的代数和是否还是无穷小？ 解 例4 解 例4 第二次数学微机 关于微积分基础的问题越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。波尔查诺不仅承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年从定义变量开始，抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。 2.2极限的运算法则 由于根据极限的定义, 只能验证某个常数 A 是否为某个函 数?(x)的极限, 而不能求出函数?(x)的极限. 为了解决极限的 计算问题. 一、 极限的四则运算法则 定理 注: 没写极限的过程指同一极限过程. 例1 三、求极限方法举例 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例10 练1 解 练2 解 （也可由无穷小的倒数为无穷大来求） 商的法则不能用，但由推广的公式（5）可得 练3　求 解 当　　　时，分子、分母的极限都为零，此时 不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约 去无穷小因子的方法将函数变形后求极限 练4 解 (无穷小因子分出法) 练5 求极限 解 当　　　　时，分子分母都趋于无穷大， 用无穷大因子　去除分子分母，然后再求极限． 练6 求 解 练7 求 解 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 小结与思考判断题 II. 求初等函数在定义域外某点的极限, 函数在形式上呈现不定式, 求其极限须利用其它方法消除不定式, 把它转化为另一个在该点有定义的函数的极限. 解 例3 1. 因式分解 2. 分子分母有理化 解 将分子有理化, 得 例4 例4 解 3. 分子分母同乘以或除以一个函数 夹逼准则和第一个重要极限 2.3 极限存在准则  两个重要极限 单调有界收敛准则和第二个 重要极限 * 夹逼准则 如果 那末 存在, 且等于A. 有 1. 夹逼准则 一、夹逼准则和第一个重要极限 2.5 极限存在准则 两个重要极限 对数列以及其它极限过程也有类似的 夹逼 注 准则. * 注 利用夹逼准则是求极限的一个重要手段, 将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简, 找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x) 和h(x)即可. 2.5 极限存在准则 两个重要极限 * 作为夹逼准则的应用推导 即 设单位圆O, 在A处作单位圆的切线, 2.5 极限存在准则 两个重要极限 2. 第一个重要极限 第一个重要极限: * 例 例 2.5 极限存在准则 两个重要极限 * 例 2.5 极限存在准则 两个重要极限 * 第2章： 极限与连续 （第21—44页） 2.1极限概念 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 2.1.1极限思想 播放 ——刘徽 截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 定义2.