2017届高考数学总复习 课后作业（六十九）文 新人教A版.doc

【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习 课后作业（六十九）文 新人教A版 1．在ABC中，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，证明： (1)＋＋＋abc≥2； (2)＋＋≥9. 2．(2016·云南模拟)已知a是常数，对任意实数x，不等式|x＋1|－|2－x|≤a≤|x＋1|＋|2－x|都成立． (1)求a的值； (2)设m>n>0，求证：2m＋≥2n＋a. 3．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－3|，f(x)的最小值为m. (1)求m的值； (2)当a＋2b＋3c＝m(a，b，cR)时，求a2＋b2＋c2的最小值． 4．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明： (1) ab＋bc＋ac≤； (2) ＋＋≥1. 5．(2016·长春质检)(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2； (2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc. 6．设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：2＋2＋2≥. 1．证明：(1)因为a，b，c为正实数， 由基本(均值)不等式可得＋＋≥3， 即＋＋≥， 所以＋＋＋abc≥＋abc， 而＋abc≥2＝2， 所以＋＋＋abc≥2. 当且仅当a＝b＝c＝时取等号． (2)＋＋≥3＝≥＝， 所以＋＋≥9， 当且仅当A＝B＝C＝时取等号． 2．解：(1)设f(x)＝|x＋1|－|2－x|， 则f(x)＝f(x)的最大值为3. 对任意实数x，|x＋1|－|2－x|≤a都成立，即f(x)≤a，a≥3. 设h(x)＝|x＋1|＋|2－x|＝ 则h(x)的最小值为3. 对任意实数x，|x＋1|＋|2－x|≥a都成立，即h(x)≥a，a≤3.∴a＝3. (2)由(1)知a＝3. 2m＋－2n＝(m－n)＋(m－n)＋，且m>n>0， (m－n)＋(m－n)＋≥ 3＝3， 2m＋≥2n＋a. 3．解：(1)法一：f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1. 法二：f(x)＝ 当x≥4时，f(x)≥1；当x<3时，f(x)>1；当3≤x＜4时，f(x)＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1. (2)(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2＝1， 故a2＋b2＋c2≥， 当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号． 故a2＋b2＋c2的最小值为. 4．证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1. 5．证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2. 因为a， b都是正数，所以a＋b>0. 又因为a≠b，所以(a－b)2>0. 于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0， 所以a3＋b3>a2b＋ab2. (2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc. 同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c. c2(a2＋b2)≥2abc2. ①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc. 6．证明：2＋2＋c＋2 ＝(12＋12＋12)2＋2＋2≥1×＋1×b＋＋1×2＝1＋＋＋2＝1＋(a＋b＋c)＋＋2≥×(1＋9)2＝. 即原不等式成立． 4