故系统的状态完全能控！1-青岛理工大学.PPT

能控性和能观性的概念 在分析和设计中的两个关键问题： 由动态方程 秩判据 模态判据（系统矩阵的特征根） 1、A为对角形时系统的能控性判据 2、A为约当阵时系统的能控性判据 3、A为一般形式时系统的能控性判据 若系统的状态空间模型不为约当标准型，可先通过线性变换将模型转换为约当型，再利用之前的结果来判断能控性。 线性变换不改变系统的能控性。 非奇异变换后： 可逆矩阵与任意一个矩阵的乘积不会改变这个矩阵的秩 * 现代控制理论 青岛理工大学自动化工程学院 2014-09-17 分析 建模 设计 能控性 能观性 稳定性 状态空间 表达式 （建立， 求解， 转化） 状态反馈 状态观测器 第三章 线性控制系统的能控性 与能观性 1）系统的状态能否由输入来控制？ 例：考虑如下系统： 显然不能通过输入来改变其运动轨迹。 直观地看，一个状态变量 能受一个控制量 的控制， 与 之间必须有一定的联系。如： 又如： 可能是能控的。 但是有联系不一定能控，如图 电桥， 为2个状态变量，都与 有联系， 时，都能控； 时， 不能控。 2） 系统的状态能否由输出来反应？ 例：考虑如下系统：其中仅输入输出可测量 显然，此例中，系统的状态不能被完全观测，事实上， 和输出没有直接或者间接的联系。 对许多系统来说，仅有输出和输入是可以测量的。但为了进行控制律的设计，必须了解系统的内部状态。因此，系统的状态能否通过输出来反映的问题就变得十分重要。 能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能否控制状态（控制问题） 能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题） 可知，能控性研究的是系统在输入作用下，状态变量的转移情况，与输出无关，只需研究矩阵对 的关系；同理，能观性要研究的是矩阵对 之间的关系。 3.1 能控性定义 线性连续时不变系统 如果存在一个分段连续的输入 ，能在有限的时间区间 内，使系统由某一初始状态 ，转移到指定的任一终端状态 ，则称该状态是能控的。 状态能控 系统能控 若系统的所有非零状态都是能控的，则称此系统是完全能控的。 为方便，可假定任意终端状态为零状态。 在 时刻能控 系统在 时刻能控 所有非零状态 线性连续时变系统 在 时刻能控 系统在 时刻完全能控 所有非零状态 所有时刻 系统一致能控 线性定常 系统的可 控性与 无关 状态能控 状态能达 线性定常系统：能控性与能达性等价 例：已知系统的动态方程，判断其能控性。 解：由状态方程可知： 都可由 控制， 可以说 都是能控的。 对该方程求解得： 即两个状态间始终相差一个不受输入控制，与初值相关的值。因此，对于某些初态而言， 不能在有限时间内同时被控制到零，只能被控制在由状态解所规定的状态空间的曲线上。 故：状态能控但系统非完全能控。 3.2 线性定常系统能控性判据 一、秩判据 分析：从定义考察其可控性 问题就归结为从上式能否解出 ，若能，即此 作用下下列状态转移存在： 由凯莱-哈密顿定理知： 这是n个方程的非齐次线性方程组，要从中求解nr个未知量，由线性方程解的存在定理可知，有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即 结论1：线性定常连续系统状态完全能控的充要条件是： 注意到 为任意，所以上述等式两边的秩应为n。 能控性矩阵 阶能控性矩阵 多输入： 阶能控性矩阵 单输入： 例 判别如下系统的能控性 解： 故系统的状态完全能控！ 二、模态判据 结论2：若A为对角阵，且元素互异，系统完全能控的充要条件是：输入矩阵B不存在全为0的行。 每个方程只有一个状态变量，只要看它是否与 控制量有直接联系来判别其能控性。 与 无任何联系 系统不能控！ 例：判别下列对角标准型线性定常系统的能控性。 1、 没有全零行 系统能控！ 1、 2、 有全零行 系统不能控！ 只含一个约当块的情形 结论3：若A为只含一个约当块的约当阵，系统完全能控的充要条件是：输入矩阵B的最后一行不全为0。 结论4：若A为每个特征根都只有一个约当块的约当阵，系统完全能控的充要条件是：对应A的每个特征值的B的分块的最后一行都不全为0。 含多约当块的情形 结论5：若