现代控制理论广义特征向量.pptx

广义特征向量和广义特征向量链;解上述方程组一直到无解为止，就可求得?i 的特征向量xj所对应的所有广义特征向量xj,k (k≥2)。 重特征值?i的所有线性独立特征向量xj及其对应的广义特征向量xj,k (k≥2)的个数等于其代数重数，否则就还存在其他特征向量或广义特征向量。 并不是重特征值?i的任何一组线性独立的特征向量，都能求出其所有的广义特征向量。 若?i的某一组特征向量xj及其相应广义特征向量xj,k (k≥2)的个数小于该特征值的代数重数，则应重新选取其他一组线性独立的特征向量并求取相应的广义特征向量。;重特征值?i的特征向量xj的所有广义特征向量xj,1, xj,2,…组成?i的特征向量xj 的广义特征向量链。 广义特征向量并不是矩阵的特征向量。 矩阵的所有特征向量和广义特征向量线性独立，并且构成n维线性空间的一组基底。 广义特征向量xj,k的求解： 注：xj,1就是 xj 一阶非齐次线性方程组Ax=b的求解 先对方程组进行简化(对A的增广矩阵进行初等行变换，得到最简式后，将x代入)，然后求解。 如果A满秩，则x有唯一解，如果不满秩，那么有无穷多解。;例 求如下矩阵的特征向量和特征向量链;重特征值-1有2个独立的特征向量，其几何重数比代数重数小1，因此其中一个特征向量存在一个广义特征向量。 解(?1I-A)x=0得如下特征向量的通解：x=[x1 x2 -(x1+x2)/2]T 求解特征向量x1 ： 令x1 =1 x2=0 则： x1=[1 0 -1/2]T 计算相应的特征向量链： 上述非齐次线性方程组无解， x1 无广义特征向量。 ?特征向量若任意确定，极有可能得不到广义特征向量。 ;计算另一个特征向量及其广义特征向量链。 根据： x1=[x1 x2 -(x1+x2)/2]T 有： ，即： 根据方程的可解性，有：x1=-3x2 ，因此，存在广义特征向量的特征向量有约束： x1=-3x2 存在广义特征向量的特征向量为： x2=[-3x2 x2 x2]T; 设广义特征向量为 x2,2=[r1 r2 r3]T 则： -r1 -r2 -2r3= -x2 因此，广义特征向量为 x1,2=[r1 r2 -(r1+r2-x2)/2]T 其中r1和r2为任意数。 令x2=1，r1=1，r2=0 则 x2=[-3x2 x2 x2]T 存在广义特征向量的特征向量为： x2=[-3 1 1]T 对应的广义特征向量可以取为： x2,2=[1 0 0]T 注：x1， x2,1与 x2,2必须相互线性独立 特征值?1= -1的特征向量为： x1=[1 0 -1/2]T 和x2,1=[-3 1 1]T 对应于特征向量x2的广义特征向量为: x2,2=[1 0 0]T ;广义特征向量和广义特征向量链;解上述方程组一直到无解为止，就可求得?i 的特征向量xj所对应的所有广义特征向量xj,k (k≥2)。 重特征值?i的所有线性独立特征向量xj及其对应的广义特征向量xj,k (k≥2)的个数等于其代数重数，否则就还存在其他特征向量或广义特征向量。 并不是重特征值?i的任何一组线性独立的特征向量，都能求出其所有的广义特征向量。 若?i的某一组特征向量xj及其相应广义特征向量xj,k (k≥2)的个数小于该特征值的代数重数，则应重新选取其他一组线性独立的特征向量并求取相应的广义特征向量。;重特征值?i的特征向量xj的所有广义特征向量xj,1, xj,2,…组成?i的特征向量xj 的广义特征向量链。 广义特征向量并不是矩阵的特征向量。 矩阵的所有特征向量和广义特征向量线性独立，并且构成n维线性空间的一组基底。 广义特征向量xj,k的求解：