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垂直平分线与角平分线典型题

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线段的垂直平分线与角平分线(1)

知识要点详解

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等

（2）线段关于它的垂直平分线对称.

课堂笔记：

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理

（1）线段垂直平分线的逆定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.

课堂笔记：

3、关于三角形三边垂直平分线的定理

（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一点O，且OA＝OB＝OC.

定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.

经典例题：

例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）

A．6cmB．8cm C．10cmD．12cm

课堂笔记：

B针对性练习：

B

AD已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=

A

D

2)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是

E如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是

E

CB

C

B

例2.已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。

课堂练习：

1.如图，AC=AD，BC=BD，则（）

A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD

C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对

2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，

那么，这个三角形是（）

A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形

3.下列命题中正确的命题有（）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）

A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm

5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，

求证：AO⊥BC.

6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线

MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM.

课后作业：

1.如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.

2.已知：如图所示，∠ACB，∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP。

线段的垂直平分线与角平分线（2）

知识要点详解

4、角平分线的性质定理：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

课堂笔记：

5、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线性质