第5章生活中的轴对称 题型解读6 垂直平分线题型-2020-2021学年北师大版七年级数学下册.pdfVIP

《生活中的轴对称》题型解读6垂直平分线题型

【知识梳理】

1.线段的垂直平分线的定义：线段是轴对称图形，它的一条对称轴垂直且平分这条线段，这样的直线叫做这条线段

的垂直平分线，简称中垂线.

2.线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等

3.线段垂直平分线的判定：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

4.线段的对称轴有两条：一条是这条线段的垂直平分线；另一条是线段所在的直线.

5.用尺规作线段的垂直平分线（或作线段的中点）

1

作法:①分别以点A,B以为圆心,以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；

2

②过C，D两点作直线CD（交AB于M）；直线CD就是线段AB的垂直平分线（M即为AB的中点）

【方法梳理】

1.已知垂直平分线

①转化成等腰△，证角相等或角度计算；

②证边相等；

2.证垂直平分线

①从定义的角度思考（即从等腰三角形“三线合一”的角度思考）；

②从判定的角度思考；

3.常见辅助线：补上垂直平分线上的点与线段端点的连线，利用角的性质或判定解题；

4.垂直平分线尺规作图的识别；

【典型例题】

例1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=5cm，DE是AB的垂直平分线，点D在BC上，若∠BAD：∠BAC=1：3，

则（1）BD=_______；（2）∠B=______.

【解析】利用垂直平分线的定义与性质、等腰三角形及三角形内角和公式即可求解.

（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD=5；

（2）∵AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵∠BAD：∠BAC=1：3，∴∠B：∠BAC=1：3，∵∠B+∠BAC=90º，∴∠B=22.5º.

例2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,直线DE是斜边AB的垂直平分线,AC=8,BC=6则△DBC的周长是____

C

D

AB

E

第8题图

【解析】利用垂直平分线的性质即可求解.

∵DE是斜边AB的垂直平分线,∴AD=BD，∴△DBC的周长=BC+CD+BD=BC+DC+AD=BC+AC=14.

例3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19，△ABD的周长为13，则AE的长为________

【解析】利用垂直平分线的定义与性质及线段的等量代换即可求解.

∵DE是斜边AB的垂直平分线,∴AD=BD，AE=EC，

∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=13.

∵△ABC的周长=AB+BC+AC=19，∴AC=19-13=6，∴AE=3.

例4.(1)如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,若∠A=40°,求∠NMB的度数;

(2)若(1)中的∠A=140°,如图2,AB的垂直平分线交BC于点M,其余条件不变,求∠NMB的度数;

(3)用一句话概括你发现的结论.

【解析】利用等腰三角形底角相等性质、垂直平分线定义及三角形内角和公式，即可求解；

（1）∵AB=AC，∠A=40°,∴∠B+∠ACB=70º，∵∠BNM=90º，∴∠M=20º，

（2）同（1）可知：∠NMB=70º；

（3）等腰三角形一腰的垂直平分线与底边所在直线的夹角会等于顶角的一半。

例5.如图,△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,求证:CD=AB+BD.

【解析】线段和差问题，解题方法是“截长补短”，可用轴对称的知识来截长补短，将△ABD沿AD对折，使点B落

在BC边上的点E处，则△ABD与△AED是成轴对称，利用轴对称图形的边角相等性质，易证△AEC是等腰三角形，

即可得出结论。

将△ABD沿AD对折，使点B落在BC边上的点E处，则△ABD与△AED是成轴对称，∴BD=ED，AB=AE，∠B=∠AED，

∵∠B=2∠C,∠AED=∠C+∠EAC，∴2∠C=∠C+∠EAC，∴∠C=∠EAC，∴AE=EC，∴CD=DE+EC=BD+AE=BD+AB.