高等数学极限解题方法与技巧.pptx

汇报人：XXX2024-01-25高等数学极限解题方法与技巧

目录极限概念及性质极限计算方法极限存在性判断方法特殊类型极限求解技巧多元函数极限求解方法极限思想在高等数学中的应用

01极限概念及性质Part

设函数$f(x)$在点$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$epsilon$（无论它多么小），总存在正数$delta$，使得当$x$满足不等式$0|x-x_0|delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|epsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$xtox_0$时的极限。极限定义函数极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在并且相等。极限存在条件极限定义与存在条件

极限性质与运算法则极限性质唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性、迫敛性。运算法则极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则。

无穷小量定义如果函数$f(x)$当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的无穷小量。无穷大量定义如果对于任意给定的正数$M$（无论它多么大），总存在正数$delta$（或正数$X$），使得当$x$满足不等式$0|x-x_0|delta$（或$|x|X$）时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)|M$，那么称函数$f(x)$为当$xtox_0$（或$xtoinfty$）时的无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系在同一变化过程中，如果$f(x)$为无穷大量，那么$frac{1}{f(x)}$为无穷小量；反之，如果$f(x)$为无穷小量且$f(x)neq0$，那么$frac{1}{f(x)}$为无穷大量。无穷小量与无穷大量

02极限计算方法Part

直接代入法直接代入法是最基本的求极限方法，适用于一些简单的函数表达式。02使用该方法时，直接将自变量趋近的值代入函数表达式中，求出函数在该点的极限值。03需要注意的是，有些函数在代入自变量趋近的值后可能得到不确定型（如0/0型、∞/∞型等），此时不能直接使用直接代入法，需要采用其他方法求解。01

因子分解法适用于一些多项式函数或分式函数的极限求解。使用该方法时，通过对函数表达式进行因式分解，消去分子或分母中的某些项，从而简化函数表达式，使其更容易求出极限值。需要注意的是，因式分解法需要一定的代数基础，掌握多项式和分式的因式分解技巧。因子分解法

01洛必达法则是一种求解0/0型和∞/∞型不确定型的极限方法。02使用该方法时，通过对分子和分母分别求导，得到新的函数表达式，再求出该表达式的极限值。03需要注意的是，洛必达法则只适用于0/0型和∞/∞型不确定型，对于其他类型的不确定型需要使用其他方法求解。此外，在使用洛必达法则时，需要保证分子和分母在求导后仍然保持同阶无穷小或同阶无穷大。洛必达法则

需要注意的是，泰勒公式法需要掌握泰勒公式的展开技巧，并选择合适的展开点和展开阶数。此外，在使用泰勒公式法时，需要注意展开后的多项式近似表达式的误差控制。泰勒公式法是一种利用泰勒公式展开函数表达式并求极限的方法。使用该方法时，将函数在自变量趋近的值处进行泰勒展开，得到多项式近似表达式，再求出该表达式的极限值。泰勒公式法

03极限存在性判断方法Part

通过直接计算函数在某点的左极限和右极限，若两者相等，则函数在该点的极限存在。利用函数极限的性质，如局部有界性、局部保号性等，来判断函数在某点的极限是否存在。单侧极限判断法性质法定义法

夹逼定理若存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=A，则limf(x)=A。应用举例利用夹逼定理求某些复杂函数的极限，如分段函数、三角函数等。夹逼定理及其应用

海涅定理若对任意收敛于x0的数列{xn}，都有limf(xn)=A，则limf(x)=A。要点一要点二应用举例利用海涅定理判断某些函数的极限是否存在，如连续函数、幂函数等。同时，海涅定理还可以用于证明某些函数的极限不存在。海涅定理及其应用

04特殊类型极限求解技巧Part

变量替换法对于形如$int_{a}^{+infty}f(x)dx$的无穷限反常积分，通过适当的变量替换，可以将其转化为有限区间上的定积分进行计算。比较判别法利用被积函数与另一个已知积分的函数进行比较，从而判断无穷限反常积分的敛散性。极限审敛法通过求取被积函数在无穷远处的极限值，判断无穷限反常积分的敛散性。无穷限反常积分求解技巧

无界函数反常积分求解技巧分段函数法对于无界函数的反常积分，可以通过将其拆分为多个有界区间上的定积分进行计算。对称性质应用利用被积函数的对称性质，简化无界函数反常积分的