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衡阳市重点中学2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试卷
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数的部分图象如图所示,则()
A.6 B.5 C.4 D.3
2.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的()
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.若,则的值为()
A. B. C. D.
4.设全集U=R,集合,则()
A. B. C. D.
5.已知集合,,则等于()
A. B. C. D.
6.设分别为的三边的中点,则()
A. B. C. D.
7.若执行如图所示的程序框图,则输出的值是()
A. B. C. D.4
8.若复数满足,则对应的点位于复平面的()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.运行如图所示的程序框图,若输出的的值为99,则判断框中可以填()
A. B. C. D.
10.在空间直角坐标系中,四面体各顶点坐标分别为:.假设蚂蚁窝在点,一只蚂蚁从点出发,需要在,上分别任意选择一点留下信息,然后再返回点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是()
A. B. C. D.
11.已知椭圆内有一条以点为中点的弦,则直线的方程为()
A. B.
C. D.
12.若直线经过抛物线的焦点,则()
A. B. C.2 D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点,则该双曲线的标准方程为________.
14.已知变量(m0),且,若恒成立,则m的最大值________.
15.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为________.
16.如图,从一个边长为的正三角形纸片的三个角上,沿图中虚线剪出三个全等的四边形,余下部分再以虚线为折痕折起,恰好围成一个缺少上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底,则所得正三棱柱的体积为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,∥,为等边三角形,平面底面,为的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)点在线段上,且,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
18.(12分)已知,(其中)
.
(1)求;
(2)求证:当时,.
19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(m为参数),以坐标点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1.
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;
(2)已知点M(2,0),若直线l与曲线C相交于P、Q两点,求的值.
20.(12分)已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,求函数在上最小值.
21.(12分)如图,在四棱锥中,平面,底面是矩形,,,分别是,的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)设,求三棱锥的体积.
22.(10分)已知圆M:及定点,点A是圆M上的动点,点B在上,点G在上,且满足,,点G的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点,与直线和分别交于P、Q两点.当时,求(O为坐标原点)面积的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标,再求出向量的坐标,根据向量数量积的坐标运算求出结果.
【详解】
由图象得,令=0,即=kπ,
k=0时解得x=2,
令=1,即,解得x=3,
∴A(2,0),B(3,1),
∴,
∴.
故选:A.
【点睛】
本题考查正切函数的图象,平面向量数量积的运算,属于综合题,但是难度不大,解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标,再根据向量数量积的坐标运算可得结果,属于简单题.
2、C
【解析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围,再利用充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
由“”,得,
得或或,
即或或,
由,得,
故“”是“”的必要不充分条件,
故选C.
【点睛】
本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查指数,对数不等式的解法,是基础题.
3、
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