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第九讲 数学游戏 　　游戏对策问题因常与智力游戏相结合，因此具有很大的趣味性.又由于解题方法灵活，技巧性强，所以对开阔解题思路，提高分析问题解决问题的能力是很有益处的。 例1 在一个3×3的方格纸中，甲乙两人轮流（甲先）往方格纸中填写1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数中的一个，数不能重复.最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，乙的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜.请你为甲找出一种必胜的策略。 　　分析 把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、 　　i。 　　甲的得分为：a＋b＋c＋g＋h+i 　　=（a＋c＋g+i）+（b+h）； 　　乙的得分为：a＋d＋g＋c＋f＋i 　　=（a＋c＋g＋i）+（d＋f） 　　要想使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使b＋h＞d+f.要想使b＋h＞d＋f，甲有两种策略：一是增强自己的实力——使b、h格内填的数尽可能地大；二是削弱对方的实力——使d、f格内填的数尽可能地小.下面分两种情况进行讨论：取胜的总策略是“增强自己，削弱对方”两者兼顾。 　　为了使叙述方便起见，我们分别用（甲2）和（a5）分别表示“甲第二轮”和“在a处填数字5”，其余如（乙1），（甲1，b10）等含义类同。 　　一、甲首先使b、h处填的数尽可能大.譬如，（甲1，b10）。 　　1.乙为了不输，（乙1）必须在h处填数.（否则，即如（乙1）不在h处填数，（甲2）在h处填余下来的最大数后，无论（乙2）怎么填，最后总有b＋h≥10＋8=18＞16＝9＋7≥d+f，甲胜）.这样，必须（乙1，h1）.（乙当然在h处填最小数） 　　2.（甲2）不能在d处或f处填数.（否则，如（甲2，dx），x为任一数，则（乙2）在f处填余下来的最大数后，即有d+f≥3＋9＝12＞11＝10＋1＝b+h，乙胜）.当然（甲2）填9，譬如（甲2，eg）.（以后，只要甲不填错，即只要把余下数中的最小者填入d或f，就不会输了） 　　3.显然，（乙2，d8），乙就不会输了.因此不分胜负（此时（甲3）必须（f3））。 　　同样，若（甲1，h10），只要乙应对正确，乙就不会输。 　　因此，只有 　　二、甲首先使d、f处填的数尽可能小（才有可能必胜）.譬如，（甲1，d1）。 　　1.若（乙1）不在f处填数时，（甲2）在f处填余下来的最小数，则最后必有 　　b＋h≥3＋5＝8＞5=1＋4≥d＋f，甲胜。 　　2.若（乙1，f10）（乙当然在f处填最大数），则（甲2，b9），最后必有 　　b＋h≥9＋3＝12＞11=1＋10=d+f，甲胜. 　　因此，只要（甲1，d1），且以后甲每次应对正确，则甲必胜。 　　解：甲第一轮采用削弱对方策略，把1填入d格（或f格）内，以后无论乙怎样填，甲第二轮“随机应变”，只要把尽可能大的数填入b或h格内，或者把尽可能小的数填入f格（或d格）内（在乙没有在f或d格内填数的情况下），甲都能获胜。 例2 在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游戏，由甲开始，二人交替地移动这粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗？如果要取胜，应采取什么办法？ 　　分析 见右图，采用倒推法.甲要取胜，就必须使乙在移动最后一次石子后，石子落在再移动一次就能移到右上角的那些方格中，即.而移动一次石子，石子必定落在这三个方格之一的方格只有和，即和必须由甲来占领。 　　这样，如一开始分析的那样，就必须使乙在某一次移动石子后，石子落在再移动一次就能移到或的那些方格中，即.而从哪些方格（除了和外）中移动一次石子，石子必定落在之一中呢？只有用.因此甲第一次移动石子就必须把石子从左下角移到中。 　　这样，所有的格子被分成“胜位”（）和“负位”（）.自然，上图中的和 也是负位.即，谁占据胜位，谁将获胜（若此后他不失误）；谁占负位，谁将失败（若此后对方不失误）。 　　解：由以上的分析和上图知，甲要取胜，必须向右上走一格.然后，乙如果向上走，甲也向上走；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走.总之，甲走完第一步以后，乙朝哪个方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲就能取胜。 　　如果是5×5的方格，甲要取胜，应采取怎样的策略呢？ 　　根据例2的分析，我们仍用 表示胜位，表示负位，如右图所示.因此，先移动石子者必输——第一次他只能把石子移动到负位。 例3 甲乙两人玩下面的游戏：有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个，甲乙两人轮流从中拿取，每次只能从同一堆中拿，个数（＞0）不限.规定拿到最后一个球的人为输.问如果甲先拿，他有无必胜的策略？ 　　分析 解这类题的一个常用的方法是从简单的情形讨论起，逐渐找出规律或找出解来。 　　为了便于叙述，我们用（m，n）表示两堆球，其中一堆有m个，