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* 数学使人聪颖 数学使人严谨?? 数学使人深刻? ? ? 数学使人缜密??? 数学使人坚毅? ?? 数学使人智慧??? 内容: 一、一元二次方程根的判别式 二、一元二次方程根与系数的关系 三、二次三项式的因式分解 一元二次方程根的判别式 两不相等实根 两相等实根 无实根 一元二次方程 一元二次方程 根的判式是: 判别式的情况 根的情况 定理与逆定理 两个不相等实根 两个相等实根 无实根(无解) 一、 例1:不解方程,判别下列方程的根的情况 (1) (3) (2) 解:(1) = 判别式的应用: 所以,原方程有两个不相等的实根。 说明:解这类题目时,一般要先把方程化为一般形式,求出△,然后对△进行计算,使△的符号明朗化,进而说明△的符号情况,得出结论。 1、不解方程,判别方程的根的情况 例2:当k取什么值时,已知关于x的方程: (1)方程有两个不相等的实根;(2)方程有两个相等的实根;(3)方程无实根; 解:△= (1).当△>0 ,方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即 (2).当△ = 0 ,方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即 (3).当△ <0 ,方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即 2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围 说明:解此类题目时,也是先把方程化为一般形式,再算出△,再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出待定系数的取值范围 K< 例3、已知m为非负整数,且关于x的方程 : 有两个实数根,求m的值。 解:∵方程有两个实数根 ∴ 解得: ∵m为非负数 ∴m=0或m=1 说明:当二次项系数也含有待定的字母时,要注意二次项系数不能为0,还要注意题目中待定字母的取值范围. 例4、求证:关于x的方程: 有两个不相等的实根。 证明: 所以,无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。 无论m取任何实数都有: 即:△>0 3、证明方程根的情况 说明:此类题目要先把方程化成一般形式,再计算出△,如果不能直接判断△情况,就利用配方法把△配成含用完全平方的形式,根据完全平方的非负性,判断△的情况,从而证明出方程根的情况 练习:1、不解方程,判别下列方程的根的情况 (1) (3) (2) 2、已知关于x 的方程: 有两个 不相等的实数根,k为实数,求k 的取值范围。 3、设关于x 的方程: ,证明,不论m 为何 值时,方程总有两个不相等的实数根。 二、一元二次方程根与系数的关系 以两个数x1、x2为根的一元二次方程 (二次项系数为1)是 设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根,填写下表 x1 · x2 x1 + x2 一元二次方程 5 6 解:设方程的另一个根为x1,那么 例2、利用根与系数的关系,求一元二次方程 两个根的;(1)平方和;(2)倒数和 解:设方程的两个根是x1 x2,那么 例3 已知方程x2-5x-2=0,作一个新方程, 使它的根分别是已知方程各根平方的倒数 解:设x1、x2为方程x2-5x-2=0的两根,则 x1+x2=5 x1x2=-2 设所求方程两根为y1、y2则: 例6 .已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,且这两个根的平方和比两根的积大21,求m的值. 解:设x1、x2为方程的两根∵方程有两个实数根, 解得m≤0. 依题意,得 ∵m≤0, ∴m=-1. (x12+x22)-x1x2=21
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