微积分E课件2.3_无穷小与无穷大.ppt

* 2.3 无穷小与无穷大 2.3.1. 无穷小 2.3.2. 无穷小的运算性质 2.3.3. 无穷大 2.3.4. 无穷小与无穷大的关系 2.3.5. 无穷小与函数极限的关系 2.3.6. 无穷小的比较 2.3.7. 利用等价无穷小替换求极限 如, 在某个变化过程中，极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小. 无穷小是指 函数变化的趋势. 在某个过程中 2.3.1 无穷小 定义 记作 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的常数. 注 “无穷小量”并不表达量的大小,而是表达量的变化状态的. 证 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 性质 仍是无穷小. 取 恒有 恒有 恒有 的两个无穷小, 2.3.2 无穷小的运算性质 　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 证 性质 局部有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 则当 恒有 在同一过程中,有极限的变量与无穷小 常数与无穷小的乘积是无穷小; 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小. 推论1 的乘积是无穷小; 推论2 推论3 无穷个无穷小的乘积未必是无穷小. 绝对值无限增大的变量称为 无穷大. 如, 是无穷大; 是无穷大. 2.3.3 无穷大 定义 记作 无穷大一定是无界函数 证 例 的图形的 垂直渐近线(vertical asymptote). 的图形的 水平渐近线(horizontal asymptote). 则直线 特殊情形: 正无穷大,负无穷大． 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 证 定理 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 此时对 使得当 2.3.4 无穷小与无穷大的关系 关于无穷大的讨论, 意义 无穷小的讨论. 都可归结为关于 此时对 使得当 证 定理 恒有 也即 定理中过程可以换成 x → ∞ 2.3.5 无穷小与函数极限的关系 于是 恒有 即 定理1 例 2.3.6 无穷小的比较 不可比. 观察各极限 是无穷小. 不存在. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 定义 记作 是同一过程中的两个无穷小, 高阶的无穷小; 同阶无穷小; 记作 等价无穷小, 低阶的无穷小; 如 高阶无穷小, 同阶无穷小. k 阶无穷小. 定理 证