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复变函数论文
复变函数在专业上的应用及系统稳定性的推广
姓 名:
董冰
学 号:
093409119
学院(系):
电气与电子工程系
专业:
电子信息工程
指导教师:
秦志新
评阅人:
PAGE 1
复变函数在专业上的应用及系统稳定性的推广
【摘要】:
Laplace变换、Z变换是处理信号的两种常用方法,文中介绍了两种变换的应用,并用两种不同的分析方法解决问题,突出不同情况下不同方法的特点。Laplace变换应用于连续信号的分析,Z变换应用于离散信号的分析,以及由此推广到专业软件上的应用,如MATLAB分析信号的频谱特性、稳定性等。最后还由Laplace分析法判断系统的稳定性,同时也指出分析其稳定性重要作用,并通过分析稳定裕量等多种方法判断稳定性,探讨自动控制中Laplace的应用,还有Laplace变换在积分、微分反馈控制器中的应用(PID),使复杂的信号问题简捷化,精确化。
【关键词】:Fourier变换,Laplace变换,Z变换
【正文】:
提出问题:
复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸,但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同,特别是当他引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。
随着教育事业的不断发展与更新,一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在电子信息方面的应用也更大的加快了电信业的发展,信息处理与转换也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的,如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。
分析问题:
虽然Fourier变换的应用是有一定范围的,但是下面介绍了一些例子,我们从中可以看到,Laplace变换与Z变换填补了Fourier变换的不足之处,究竟其有什么好处,看下面例题。
例1 描述某因果连续LTI系统的微分方程
SKIPIF 1 0 已知 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 求解
零输入响应 SKIPIF 1 0
零状态响应 SKIPIF 1 0
冲击响应 SKIPIF 1 0
解:法一
(1)系统的特征方程为
SKIPIF 1 0
解特征方程,的特征方程的根为
SKIPIF 1 0
故设系统的零输入响应 SKIPIF 1 0 为
SKIPIF 1 0
带入初始状态 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 的值,有
SKIPIF 1 0
SKIPIF 1 0
解得k1=2,k2=-1,因此零输入响应为
SKIPIF 1 0
(2)根据系统的冲击响应h(t)的定义,当 SKIPIF 1 0 时,y(t)即为h(t),即原微分方程为:
SKIPIF 1 0 由于微分方程的特征根s1=-2,s2=-5,且nm,因此冲击响应h(t)的形式为 SKIPIF 1 0
式中A、B为待定系数,将h(t)代入原方程得
SKIPIF 1 0 解得A=-1/3,B=7/3,因此可得系数的冲击响应为
SKIPIF 1 0
(3)零状态响应 SKIPIF 1 0
SKIPIF 1 0
SKIPIF 1 0
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