一二阶常系数线性差分方程解的应用.doc

一、二阶常系数线性差分方程的应用 张芳平 指导老师 魏平 摘要 本文介绍一、二阶差分方程的基本概念、解的几种应用以及这些解在计算几种特殊行列式的值和概率论中的应用. 关键词 差分方程 特征值 特征方程 行列式 全概率公式 1.差分方程的概念 含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程. 由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程.差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数.或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数. 阶差分方程的一般形式可表示为 ， （1） 或， （2） 由于经常遇到是形如（2）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（2）式的差分方程. 若把一个函数代入差分方程中，使其成为恒等式，则称为差分方程的解.含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解.用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件.当时，称为一阶差分方程，当时，称为二阶差分方程 1.1一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 （3） 其中常数，为的已知函数，当不恒为零时，（3）称为一阶非齐次差分方程；当时，差分方程 . (4) 称为齐次线性差分方程 齐次差分方程的通解形式为 （为任意常数）. 非齐次差分方程的通解形式： （，b为任意常数）. （5） 下面仅就函数为几种常见形式用待定系数法求非齐次线性差分方程（5）的特解.根据的形式，按下表确定特解的形式，比较方程两端的系数，可得到特解. 的形式 特征根的判断 特解的形式 通解的形式 (为与次数相同的多项式) 不是特征根 、为待定系数 是特征根 、为待定常数 令 不是特征根 、为待定常数 是特征根 、为待定常数 1.2二阶常系数线性差分方程 标准形式 齐次: , （6） 非齐次： . （7） 定理1 若函数，是二阶齐次线性差分方程（6）的线性无关特解，则是该方程的通解，其中、是任意常数. 定理2 若是二阶非齐次线性差分方程（6）的一个特解，是齐次线性差分方程（7）的通解，则差分方程（6）的通解为 . 1.3解的形式 1.3.1二阶常系数齐次 二阶常系数齐次差分方程（5）的解与其特征方程根的判别式的符号有关. 当时，差分方程（5）有两特解常数，它的通解是； 当时，有两个相同的特征根，，差分方程（5）有特解，它的通解是 当时，特征方程有两个共轭复特征根，差分方程（5）有两特解，由确定，它的通解是， 非齐次二阶常系数非齐次差分方程（6）的解类似一阶常系数线性差分方程，如下表 的形式 特征根的判断 特解的形式 (为与次数相同的多项式) 不是特征根 是单特征根 是二重特征根 令 不是特征根 是单特征根 是二重特征根 2、差分方程在行列式方面的应用 形如 由知 上式是一个一阶常系数非齐次线性差分方程差分方程对应的特征方程为解得，齐次方程通解为又由知 解得 故 特征方程 当时，方程有两特解，通解为 由，得 解得 所以 当时，即，得，故通解为 由，得 解得,代入得 当时， 计算阶行列式 解:将上式第一列先提再按第一行展开得 故其通解为，由得 解得，代入其通解中，得 以上行列式如果改成如下形式，也可根据差分方程的解得出结果 化简可得，故其通解为 又由，，得 解得 ，， 将其代入通解得 (4) 上式按第一行展开得 ,即 故 当时，其通解为，又由，知 解得 代入通解中得 当时，有，其通解表达式为，由，知 解得 代入通解表达式中得 当上面行列式中时，上式可化为 按第一行展开得， 其通解表达式为，由可知 解得 故 3、差分方程在概率中的应用 利用差分方程解决概率问题，首先要对所解决的问题建立差分方程，然后再求它的解，在概率问题中建立差分方程有两种方法，一种是建立递推关系，另一种是利用全概率公式，有时这两种方法交替使用可使计算过程更加简洁. 3.1全概率公式 设为的一个划分，且则对任一事件有 3.2 实际应用 3.2.1一阶差分方程的应用 例1 甲袋中有9只白球和