高等代数考研习题张升祝1160981488.ppt

试确定 A 8.05 设复方阵 的不变因子,初等因子,若尔当标准形. 则行 解 特征矩阵 因此 列式因子 又 所以不变因 子为 初等因子为 其中 为 次 若当标准形为 单位根, 8.06 设方阵 求A的最小多项式及若尔当 若 其中 那么 解 记数 标准形. 又由于 取多项式 则 因此 则最小多项式 因此 的 所以 最后一个不变因子 但 的最小多项式没有重根 , 由于A 此时 的若尔当标准形为 若 则最小多项式 因此 A可相似于对角阵 , 此时 的若尔当标准形为 问题 设 A为 n 阶方阵, 试确定 A的若尔当 标准形. 若 解 有两种情况: 则若尔当标准形为 若 设 则最小多项式 因此 则 的若尔当标准形为 记 8.07 设 证明:若A有零特征值, 则零特征值所对应的初等因子次数不超过 其中 (若干若当块), 证 存在可逆阵 使得 设 为矩阵块 中的最高阶若当块的阶数. 若 那么 并且矩阵块 均为非奇异阵, 因此 矛盾. 所以矩阵A的零特征值 所对应的初等因子次数不超过 8.08 设 A 为 n 阶复方阵, 为A 的一个特征值, A 的全部形如 的初等因子为: 若 试求最小正整数 使得 解 存在可逆阵 使得 其中 ( 个块), 则 取正整数 此 即为所求. 均可逆, 记 则 C 为幂零阵, 8.09 证明:n 阶复方阵 A必可分解为 B相似于对角阵, 且 其中 证 存在可逆阵 使得 其中 为 阶若当块. 记 分别取 则 令 则 ( C为幂零阵), 并且 8.10 证明:n 阶方阵 A 相似于对角阵的充分必要条 件是 证 (必要性)设存在可逆矩阵 使得 那么对于任意的 则有 因此 (充分性)设存在可逆矩阵 使得