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4.3 两角和与差、二倍角的公式(二)
●知识梳理
1.在公式S(α+β)、C(α+β)、T(α+β)中,当α=β时,就可得到公式S2α、C2α、T2α,在公式S2α、C2α中角α没有限制在T2α中,只有当α≠+且α≠kπ+时,公式才成立.
2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.变形公式sin2α=,cos2α=.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用.
●点击双基
1.下列各式中,值为的是
A.sin15°cos15° B.2cos2-1
C. D.
解析:=tan45°=.
答案:D
2.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=,则a、b、c的大小关系是
A.a<b<c B.a<c<b
C.b<c<a D.b<a<c
解析:a=sin59°,c=sin60°,b=sin61°,∴a<c<b.
答案:B
3.若f(tanx)=sin2x,则f(-1)的值是
A.-sin2 B.-1 C. D.1
解析:f(-1)=f[tan(-)]=-sin=-1.
答案:B
4.(2005年春季上海,13)若cosα=,且α∈(0,),则tan=____________.
解析一:由cosα=,α∈(0,),得sinα==,
tan=====.
解析二:tan===.
答案:
5.(2005年春季北京,11)已知sin+cos=,那么sinθ的值为____________,cos2θ的值为____________.
解析:由sin+cos=,得
1+sinθ=,sinθ=,
cos2θ=1-2sin2θ=1-2·=.
答案:
●典例剖析
【例1】 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值,若x∈[0,]呢?
剖析:注意sinx+cosx与sinx·cosx之间的关系,进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.
解:令t=sinx+cosx=sin(x+)∈[-,],则y=t2+t+1∈[,3+],即最大值为3+,最小值为.当x∈[0,]时,则t∈[1,],此时y的最大值是3+,而最小值是3.
评述:此题考查的是换元法,转化思想,在换元时要注意变量的取值范围.
【例2】 已知sin(x-)cos(x-)=-,求cos4x的值.
剖析:4x为2x的二倍角,2x为x的二倍角.
解:由已知得sin(x--)cos(x-)=-,
∴cos2(x-)=.
∴sin2x=cos(-2x)=2cos2(-x)-1=-.
∴cos4x=1-2sin22x=1-=-.
【例3】 已知α为第二象限角,cos+sin=-,求sin-cos和sin2α+cos2α的值.
解:由cos+sin=-平方得
1+2sincos=,
即sinα=,cosα=-.
此时kπ+<<kπ+.
∵cos+sin=-<0,
sincos=>0,
∴cos<0,sin<0.
∴为第三象限角.
∴2kπ+<<2kπ+,k∈Z.
∴sin<cos,
即sin-cos<0.
∴sin-cos=-=-,
sin2α+cos2α=2sinαcosα+1-2sin2α=.
评述:由三角函数值判断的范围是关键.
●闯关训练
夯实基础
1.已知f(x)=,当θ∈(,)时,f(sin2θ)-f(-sin2θ)可化简为
A.2sinθ B.-2cosθ C.-2sinθ D.2cosθ
解析:f(sin2θ)-f(-sin2θ)=-=|sinθ-cosθ|-|sinθ+
cosθ|.
∵θ∈(,),
∴-1<sinθ<-<cosθ<0.
∴cosθ-sinθ>0,cosθ+sinθ<0.
∴原式=cosθ-sinθ+cosθ+sinθ=2cosθ.
答案:D
2.(2005年春季上海,14)在△ABC中,若==,则△ABC是
A.直角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
解析:由=,得=.
又=,∴=.
∴=.∴sinAcosB=cosAsinB,
sin(A-B)=0,A=B.同理B=C.
∴△ABC是等边三角形.
答案:B
3.若8cos(+α)cos(-α)=1,则sin4α+cos4α=_______.
解析:由已知得8sin(-α)cos(-α)=1,
∴4sin(-2α)=1.∴cos2α=.
sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-sin22α=1-(1-cos22α)
=1-(1-)=1-×=.
答案:
4.若tanx=,则=_______.
解析:原式=====2-3.
答案:
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