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(9) 数学精英解“立体几何”题
1.(2007年湖北卷第4题)平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是m'和n',给出下列四个命题:
①m'⊥n'm⊥n; ②m⊥n m'⊥n'
③m'与n'相交m与n相交或重合; ④m'与n'平行m与n平行或重合.
其中不正确的命题个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】D 以教室空间为长方体模型,m',n'作地面墙根线,m,n在墙壁上选择,易知
m'⊥n'是m⊥n的不必要不充分条件.故①②为假命题.m',n'相交或平行,m,n可以异面;故③④也是假命题.
【说明】 抽象的线线(面)关系具体化.就是寻找空间模型,长方体教室是“不需成本”的立几模型.必要时,考生还可用手中的直尺和三角板作“图形组合”.
2.(2007年北京卷第3题)平面α∥平面β的一个充分条件是
存在一条直线a,a∥α,a∥β
存在一条直线a,aa∥β
存在两条平行直线a,b,a,a∥β,b∥α
存在两条异面直线a,b,a,a∥β,b∥α
【解析】D 以考场的天花板和一个墙面作为α,β,可以找出不同的直线a,b满足A、B、C项,从而排除前三项.
【说明】教室本身是一个好的长方体模型,而我们判断线线、线面关系时用它,简捷明了.
3.(2007年湖南卷第8题)棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为( )
A. B. C. D.
【解析】D 平面截球所得圆面的半径,
被球O截得的线段为圆面的直径故选D.
【说明】 相关知识点:球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.
4.(2007年全国Ⅰ第7题) 如图,正四棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【解析】D 连接CD1,则∠AD1C即是异面直线A1B与AD1所成的角,
设AB=1,.
【说明】 找出异面直线所成的角,是问题的关键.
5.(2007年浙江卷第6题)若是两条异面直线外的任意一点,则( )
A.过点有且仅有一条直线与都平行
B.过点有且仅有一条直线与都垂直
C.过点有且仅有一条直线与都相交
D.过点有且仅有一条直线与都异面
【解析】B 对于选项A,若过点P有直线n与l,m都平行,则l∥m,这与l,m异面矛盾;对于B,过点P与l、m都垂直的直线即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线;对于选项C,过点P与l、m都相交的直线可能没有;对于D,过点P与l、m都异面的直线可能有无数条.
【说明】 空间线线关系,找空间模型.
6.(2007年山东卷第3题)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
【解析】D 正方体三个视图都相同;圆锥的两个视图相同;三棱台三个都不同;正四棱锥的两个视图相同.
【说明】 空间想象力的发挥.
7.(2007年江苏卷第4题) 已知两条直线,两个平面.给出下面四个命题:
①,;
②,,;
③,;
④,,.
其中正确命题的序号是( )
A.①、③ B.②、④ C.①、④ D.②、③
【解析】C 对于②,在两平行平面内的直线有两种位置关系:平行或异面;对于③,平行线中有一条与平面平行,则另一条可能与平面平行,也可能在平面内.
8.(2007年全国卷Ⅱ第7题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于
(A) (B) (C) (D)
【解析】A 欲求直线AB1与侧面ACC1A1所成角,关键是要找到直线AB1在平面ACC1A1内的射影,即要找到B1在这个平面内的射影,根据正棱柱的性质和平面与平面垂直的性质定理易知,B1在这个平面内的射影是的中点D.
所以就是所求.由题设,可计算出所成角的正弦值为,
故选A.
【说明】 若在直角三角形内的角边关系混淆,易选错为B;若对
直线和平面所成角的概念不清,易选错为C或D。
9.(2007年天津卷第6题) 设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( )
A.若与所成的角相等,则
B.若,,则
C.若,则
D.若,,则
【解析】D A中,a、b可能平行、相交、异面;
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