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第一章 命题逻辑 内容： 命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法 教学目的： 熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。 熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 熟练掌握形式演绎的方法。 教学重点： 1．命题的概念及判断 2．联结词，命题的翻译 3．主析（合）取范式的求法 4．逻辑推理 教学难点： 1．主析（合）取范式的求法 2．逻辑推理 1.1命题及其表示法 1.1.1 命题的概念 数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。 1.1.2 命题的表示 命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如Ai，[10]，R等，例如 A1：我是一名大学生。 A1:我是一名大学生. [10]：我是一名大学生。 R：我是一名大学生。 1.2命题联结词 1.2.1 否定联结词﹁P 0 1 1 0 1.2.2 合取联结词∧ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1.2.3 析取联结词∨ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1.2.4 条件联结词→ 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1.2.5 双条件联结词 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1.2.6 与非联结词↑ 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 性质： P↑P﹁（P∧P）﹁P； （2）（P↑Q）↑（P↑Q）﹁（P↑Q） P∧Q； （3）（P↑P）↑（Q↑Q）﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 性质： （1）P↓P﹁（P∨Q）﹁P； （2）（P↓Q）↓（P↓Q）﹁（P↓Q）P∨Q； （3）（P↓P）↓（Q↓Q）﹁P↓﹁Q﹁（﹁P∨﹁Q）P∧Q。 1.3 命题公式、翻译与解释 1.3.1 命题公式 定义 命题公式，简称公式，定义为： （1）单个命题变元是公式； （2）如果P是公式，则﹁P是公式； （3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、PQ、 PQ都是公式； （4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。 例如，下面的符号串都是公式： （（（（﹁P）∧Q）R）∨S） （（P﹁Q）（﹁R∧S）） （﹁P∨Q）∧R 以下符号串都不是公式： （（P∨Q）（∧Q）） （∧Q） 1.3.2 命题的翻译 可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。 命题翻译时应注意下列事项： （1）确定所给句子是否为命题。 （2）句子中联结词是否为命题联结词。 （3）要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。 例：假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 解：设P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家里读书；S：我在家里看报。 本例可表示为： （PQ）∧（P（R∨S））。 1.3.3 命题公式的解释 定义 设P1，P2，…，Pn是出现在命题公式G中的全部命题变元，指定P1，P2，…，Pn的一组真值，称这组真值为G的一个解释或赋值，记作I，公式G在I下的真值记作TI（G）。 例如，G=（P∧Q）R，则I： 1 1 0 是G的一个解释，在这个解释下G的真值为1，即TI（G）=1。 1.4 真值表与等价公式 1.4.1 真值表 定义 将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表，称为G的真值表。 构造真值表的方法如下： （1）找出公式G中的全部命题变元，并按一定的顺序排列成P1，P2，…，Pn。 （2）列出G的2n个解释，赋值从00…0（n个）开始，按二进制递加顺序依次写出各赋值，直到11…1为止（或从11…1开始，按二进制递减顺序写出各赋值，直到00…0为止），然后从低到高的顺序列出G的层次。 （3）根据赋值依次计算各层次的真值并最终计算出G的真值。 例：G=（ P→Q ）∧Q 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1.4.2 命题公式的分类 定义 设G为公式： （1）如果G在所有解释下取值均为真，则称G是永真式或重言式； （2）如果G在所有解释下取值均为假，则称G是永假式或矛盾式； （3）如果至少存在一种解释使公式G取值为真，则称G是可满足式。 1.4.3 等价公式 定义 设A和B是两个命题