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高等数学第03章 微分中值定理与导数的应用习题详解.pdf
第三章 微分中值定理与导数的应用习题详解
第三章 微分中值定理与导数的应用
习题3-1
1.解:(1)虽然 在 上连续, ,且 在 内可导。可见,
f (x ) [1,1] f (1) f (1) f (x ) (1,1) f (x )
在[1,1]上满足罗尔中值定理的条件,因此,必存在一点 ( 1,1) ,使得f () 0 ,即:
12
2 2 0 ,满足, 0 ;
(2 1)
(2)虽然f (x ) 在[1,1]上连续,f (1) f (1) ,但f (x ) 在(1,1) 内x 0 点不可导。可
见,f (x ) 在[1,1]上不满足罗尔中值定理的条件,因此未必存在一点 ( 1,1) ,使得
f () 0 .
2.因为函数是一初等函数,易验证满足条件.
3 3 3 12x 2
3.解:令y 3arccosx arccos(3x 4x ) ,y ,化简得
2 3 2
1x 1(3x 4x )
C 0.5 x 0.5
y 0,y C ( 为常数),又y (0.5) ,故当 ,有y (x ) 。
4 .证明 :显然 都满 足在 上连续,在 内可导
f ( x ) ,F (x ) 0, 0,
2 2
且对任一 , , 满足柯西
f ( x ) c oxs F, x () 1 xs i n x 0, F (x) 0 f (x ),F (x )
2
中值定理条件。
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