2012年中考压轴题分类答案解析定值问题汇编.doc

2012年全国中考数学（）压轴题分类解析汇编 专题5：定值问题 6. （2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8． 理解与作图： （1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的 反射四边形EFGH． 计算与猜想： （2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？ 启发与证明： （3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我 们的启发证明（2）中的猜想． 【答案】解：（1）作图如下： （2）在图2中， ， ∴四边形EFGH的周长为。 在图3中，，， ∴四边形EFGH的周长为。 猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。 （3）延长GH交CB的延长线于点N， ∵，， ∴。 又∵FC=FC， ∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。 ∴EF=MF，EC=MC。 同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。 ∵，，，∴。 ∴GM=GN。 过点G作GK⊥BC于K，则。 ∴。 ∴四边形EFGH的周长为。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。 【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。 【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。 （2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。 （3）延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。 （2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直线上. （1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上， i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度； ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= ； （2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由. 【答案】解：（1）i）∵∠A=45°， ∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。 又∵R=1，∴由勾股定理可知BC=。 ii）证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。 可知EC⊥BC（直径所对的圆周角为90°）， 且∠E=∠A（同弧所对的圆周角相等）。 故sin∠A=sin∠A=。 （2）保持不变。理由如下： 如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK， 在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK。 同理得：BK=AK=PK。 ∴CK=BK=AK=PK。∴点A、B、P、C都在⊙K上。 ∴由（1）ii）sin∠A=可知sin60°=。 ∴AP=（为定值）。 【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。 【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长； ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sin∠A=sin∠E= ，得出即可。 （2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin∠A= ，得出AP= （定值）即可。 8. （2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合． （1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF； （2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【答案】解：（1）证明：如图，连接AC ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°