无限长单位脉冲响应数字信号处理滤波器设计.ppt

无限长单位脉冲响应 ②脉冲响应不变法设计思想是 但我们可以直接从 得到 ③频率坐标是线性变换 即 。因为模拟和数字频率之间的变换关系是线性的，所以可以设 计出满足线性相位的滤波器。只要不发生混叠，变换后数字滤波器的频响 可以不失真的恢复出模拟滤波器的频响。 或 注意：数字域的频响特性都是以 为周期的周期函数， 其特性对称于折叠频率，因此， 由 是 的镜像，通常数字滤波器的频率特性我们只考虑 范围的特性即可。 ④ 脉冲响应不变法最大的缺点是有频响的混叠，所以只能模仿带限的频响。 因此，对衰减特性很好的低通或带通，频响混叠小。对于高通和带阻滤波 器，由于高端频率不衰减，所以要加保护滤波器滤掉高于折叠频率以上的 部分，再用脉冲响应不变法转化成数字滤波器。 ? 脉冲响应不变法的最大缺点是产生混叠失真。产生的主要原因是由于S平面到Z平面的变换关系 不是单值的，而是多值的映射关系，由于S平面的多值性造成频率的交叠，产生混叠现象。为了克服这一缺点，我们有必要寻求S平面与Z平面的单值的映射关系。 下面我们就介绍另外一种变换方法 ——双线性变换法。 §4.3 双线性变换法 为了寻求S平面与Z平面的一一对应关系，我们先把S平面压缩到某一个中介的 平面的横带内（宽度从 到 ），然后把此横带再变换到整个Z平面，这时S平面与Z平面就建立了一一对应的单值的映射关系，可以消除混叠现象。如下图所示： 1. 双线性变换法 为了完成从 这样一个变换过程，我们寻找它们的 映射关系: ① 虚轴 这个映射可以通过正切变换来实现： 验证： 当 时， 当 时， 当 时， ② 的映射关系： 由 得到 把此关系解析延拓（扩大）到整个S平面 令 ， ，则 得到 的映射关系 ③ 映射到 将标准变换关系 代入 ， 从而得到 到 的双线性 变换的单值映射关系 现在来验证上式中S和Z的变换关系是否满足“映射变换”的两个总要求： 将 、 代入双线性映射关系 中， 通过验证证实：S平面虚轴( ) Z平面的单位圆 上，表明整个虚轴是单值的对应于单位圆的一周。因此双线性变换确实消除了脉冲响应不变法所存在的混叠误差，所以它的逼近是良好的。 ⑵ 验证S平面与Z平面是否是因果和稳定的 当 时， ，S左半平面 Z平面的单位圆内 ; 当 时， ，S平面虚轴 Z平面的单位圆上 ; 当 时， ，S右半平面 Z平面的单位圆外 。 通过验证得到以下结论： ⑴ 如果模拟滤波器是稳定的，通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也 一定是稳定的。? ⑵ 如果给定模拟滤波器的传递函数 ，变量S与Z之间有简单的代数关 系，只要用代数置换就可以得到数字滤波器的传递函数。 说明 在本教材种，引入变换常数C P247页），主要是为了使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率处有对应关系，通常C=2/T 。因此，模拟滤波器和数字滤波器特定频率之间的关系有： 2．双线性变换的频率响应 ∵ S平面到 平面虚轴的映射关系为： 模拟域与数字域的频率关系为： 可以看出：模拟域与数字域的频率变换关系不是线性的，而是非线性关系。 双线性变换的映射关系为： 数字滤波器的频响 ①?没有频谱混叠 双线性变换的最大优点是避免了频响的混叠效应，因为S平面的虚轴单值 对应着Z平面单位圆的一周。从它们的频率变换关系 中清楚的看出，当 时，终止在折叠频率 处，故不会有高于折叠频率的分量出现，避免了由频 响产生的混叠失真，但双线性变换虽然避免了频响混 叠，但却是以牺牲相位特性为代价换取的。 ② 和 的关系是非线性变换 如果模拟系统是按时延设计的线性相位的模拟滤波器，经过双线性变换后，数字滤波器将得不到这种线性