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海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（理科）
2012.04
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合，，且，那么的值可以是
（A） （B） （C） （D）
（2）在等比数列中，，则=
（A） （B） （C） （D）且平行于极轴的直线的极坐标方程是
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知向量若与垂直则 （B）
（C）2 （D）4
（5）执行如图所示的程序框图，输出的值是
（A）4 （B）5
（C）6 （D）7
（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是
（A）12 （B）24
（C）36 （D）48
（7）已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）或
（8）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为
（A）0 （B）3
（C）4 （D）6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
（9）复数= .
（10）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .
（11）若，则= .
（12）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是 .
（13）如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点，，，那么= ，= .
（14）已知函数则
（ⅰ）= ；
（ⅱ）给出下列三个命题：
①函数是偶函数；
②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形.
其中，所有真命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
在中，角，，的对边分别为，且，， 成等差数列.
（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）设，求的最大值.
(16)（本小题满分14分）
在四棱锥中，//，，，平面，.
（Ⅰ）设平面平面，求证：//；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
(17)（本小题满分13分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.
（）的值；
（Ⅱ）
（），求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）
(18)（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
(19)（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.
（ⅰ）证明：;
（ⅱ）求四边形的面积的最大值.
(20)（本小题满分14分）
对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，.
（Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合；
（Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足，且？
海淀区高第学期期练习
学参考答案及评分标准 2012．题号1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 （10） （11） （12）
（13）60° （14） ①③
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
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