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课堂互动讲练 课堂互动讲练 【误区警示】 (1)运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导法则;(2)特别是商的求导法则,求导过程中符号判断不清,也是导致错误的原因. 课堂互动讲练 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f′(x0).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).因此求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率,只要求函数在该点处的导数即可. 课堂互动讲练 考点三 导数的几何意义 课堂互动讲练 例3 (解题示范)(本题满分12分) 已知函数f(x)=x3+x-16, (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标; 【思路点拨】 首先要判断已知点是否在曲线上,再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题. 课堂互动讲练 【解】 (1)∵f(2)=23+2-16=-6, ∴点(2,-6)在曲线上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, ∴在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=3×22+1=13. ∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6). 即y=13x-32. 4分 课堂互动讲练 (2)法一:设切点为(x0,y0), 则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1, ∴直线l的方程为: y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16. 又∵直线l过点(0,0), ∴0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16, 整理得x03=-8, 6分 ∴x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26, 课堂互动讲练 ∴k=3(-2)2+1=13, ∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26). 8分 法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0), 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18). 切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14. 12分 【误区警示】 解题过程中,很容易把所给的点当作曲线上的点,错误原因是没有把点代入方程进行检验. 课堂互动讲练 课堂互动讲练 高考检阅 解:由M(-1,f(-1))在x+2y+5=0上得 -1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2. 课堂互动讲练 课堂互动讲练 1.曲线的切线的求法 若已知曲线过点P(x0,y0),求曲线的切线则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解. (1)点P(x0,y0)是切点的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0). (2)当点P(x0,y0)不是切点时可分以下几步完成: 规律方法总结 第一步:设出切点坐标P′(x1,f(x1)). 第二步:写出过P′(x1,f(x1))的切线方程为y-f(x1)=f′(x1)(x-x1). 第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入方程求出x1. 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程. 规律方法总结 2.函数在点x0处的导数,导函数、导数的区别与联系 (1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数,是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f′(x0),根据函数的定义,在开区间(a,b)内就构成了一个新的函数,也就是函数f(x)的导函数f′(x). 规律方法总结 (3)函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x=x0处的函数值,即f′(x0)=f′(x)|x=x0. 3.复合函数的求导方法 求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为基本函数的导数解决. (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量; 规律方法总结 (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的关系; (3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数; (4)复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程. 规律方法总结 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 第三章 导数及其应用 2011高考导航 考纲解读 1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 2011高考导航 考纲解读 (2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. (3)掌握常见基本初
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