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投影测度的整体几何形态参量
吴敏金
mjwu1940@126.com
写在前面的话
本文的内容包含前人Minkouski, Cauchy, Crofton及数学形态学的创始者Matheron,Serra等人的成果;也可视为《图象形态学》一书相关内容的细说及补充。
1. 引子
于是有
如
而
2. 投影测度的整体几何形态参量
迭代可得,
[1]
[2]
事实上,
一般地,X为n维凸集时,有
当n=0,
当n=1,
,
当n=2, 此时投影为平面集合X在直线上的垂直投影。
[定理1]: 平面凸集的周长=其平均投影长度(即广义直径)乘以。
特例,园的周长=D (D为直径)
当n=3, 此时投影为空间集合X在平面上的垂直投影。
[定理2]: 3维空间凸集的表面积=其平均投影面积(即广义大园)的4倍。
一般地, 可验证
[定理3]:n维空间凸集的超表面积F=其平均投影测度mean(S)乘以 ,
即,
注意1:本节结论对于凸环(广义凸集,有限个凸集的并交差。即边界由有限个凸线与凹线组成)也成立。此时,投影应理解为多重方向投影。如带洞的钱币(半径为R及r),其投影长=2R+2r。
注意2:与Minkowski函数的关系:
但几何特性较明确。
3. i阶投影平均测度的整体几何形态参量
本节内容为新成果。
当i=1时,此投影为空间集合X沿方向L在(n-1)子空间上的投影。即为定理3。
当i=n-1时 ,此投影为空间集合X在直线L上的垂直投影。有
所以,X的广义周长广义直径
对于n>3,以n=4的超球(半径随t而变)为例。
集合X:,有
投影测度形态参量的数字化
在数字图像中,图像呈离散点阵。投影测度形态参量计算也必须数字化。投影测度形态参量将应用于图象特征提取及模式识别。(暂略,待补)
【参考文献】
吴敏金 图象形态学 上海科学技术文献出版社 1991
任德麟 积分几何引论 上海科学出版社 1988
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