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高等代数课件 * * 第一章 多项式 §1.1 数域 代数与几何教研室 一、数域 二、数域的性质 三、数学归纳法 §1.1 数域 一、数域 设P是由一些复数组成的集合，其中包括 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域． 0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 例:复数集C、实数集R、有理数集Q都是数域。 注：自然数集N，整数集Z都不是数域． Remark: 1. 若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P 中，则说数集P对这个运算是封闭的． 2. 数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集P为一个数域． 是一个数域． 例1．证明：数集 证： 又对 设 则有 设 于是 也不为0． 或 矛盾） （否则，若 则 于是有 为数域． 是数域. 类似可证 例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任 意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一 一个数域． 有 证：由题设任取 所以，P是一个数域． 时, 时, 二、数域的性质 定理: 任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域． 证明： 设P为任意一个数域．由定义可知， 于是有 进而 有 而任意一个有理数可表成两个整数的商， 设P为非空数集，若 则称P为一个数环． Remark 例如，整数集Z 就作成一个数环． 数环: 三、数学归纳法 1）当 时，S成立 第一数学归纳法 设S是一个与自然数有关的命题，且满足． 2）假设当 时，S成立，则 当 时，S成立。 1）当 时，S成立 第二数学归纳法 设S是一个与自然数有关的命题，且满足． 2）假设S对一切大于或等于 而小于 的自然数成立，则S对 成立。 则S对当 的一切自然数都成立。