【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】复变函数解析的判定及其应用.doc

（20_ _届） 本科毕业论文 复变函数解析的判定及其应用 摘要：解析函数是在某一复数域内处处可微的函数,是复变函数论研究的主体内容.本文首先归纳总结复变函数在区域内解析的各种判定条件，包括充分条件、必要条件和充要条件；其次，介绍解析函数的性质及函数解析与可导的区别和联系；最后，通过实例分析熟悉解析函数在积分、微分、幂级数展开以及留数计算等方面的应用. 关键词：解析函数；积分；微分；幂级数 Criterion and Application for Analytic Function of Complex-variable Function Abstract：A function of the complex variable is analytic in an open set if it has a derivative at each point in that set. And it is the subject content in the research of Complex-variable Function. Firstly, all kinds of the criterions for Analytic Function were introduced in this paper, including sufficient condition, necessary and sufficient condition. Secondly, the paper aimed at introduction of the character of Analytic Function, and the difference and connection between analytic function and differentiable function. Finally, the application of Analytic Function in differential calculus, integral calculus, expansion into power series and calculation of residues was analysed with examples. Key words： Analytic Function, integral calculus, differential calculus, power series 目录 1 引言 1 2 解析函数的判定 2 2.1 柯西-黎曼方程 2 2.2 柯西积分定理 4 2.3 调和函数 5 2.4 幂级数 8 3 解析函数的性质 9 3.1 解析函数的无穷可微性 9 3.2 平均值公式及最大模原理 10 3.3 解析函数的泰勒展式 11 3.4 解析函数的零点孤立性及惟一性定理 13 4 解析函数的应用 16 4.1 微分和积分 16 4.2 幂级数展开 17 4.3 留数理论及应用 18 5 结束语 21 6 致 谢 22 7 参考书 23 1 引言 为了使负数开平方有意义，16世纪中叶意大利数学家卡尔丹引进了虚数，再一次扩大了数系，使实数域扩大到复数域.关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉（Euler）作出的，他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上.用符号“”作为虚数的单位，也是他首创的.19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西（Cauchy）、德国数学家黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的巨大努力，形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概论统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用.20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其他分支的联系也日益密切.致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用.并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟共形映射等.另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型. 复变函数研究的中心对象是所谓解析函数.因此，复变函数论又称为解析函数论，简称函数论.解析函数的研究之所以如此至关重要，是因为它具有很好的性质，例如无穷可微性，惟一性以及可以用幂级数展开等，数学分析的工具几乎都可以对解析函数加以应用.解析函数的零点，奇异性质，边界值问题以及在边界附近的