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第23讲Pólya定理及其应用 王新红 上讲 回顾 §6.4 Burnside引理(1) §6.4 Burnside引理(1) §6.4 Burnside引理(3) §6.4 Burnside引理(4) §6.5 Pólya定理(1) §6.5 Pólya定理(2) §6.5 Pólya定理(3) §6.5 Pólya定理(4) §6.5 Pólya定理(5) §6.5 Pólya定理(6) §6.6 Pólya定理的应用(1) §6.6 Pólya定理的应用(1) §6.6 Pólya定理的应用(2) §6.6 Pólya定理的应用(2) §6.6 Pólya定理的应用(2) §6.6 Pólya定理的应用(3) §6.6 Pólya定理的应用(3) §6.6 Pólya定理的应用(4) 本次授课到此结束 谢谢大家 * 济南大学组合数学教学课件件 ise_wangxh ujn.edu.cn 定理 6.9 Burnside引理:设G={a1,a2,…,ag}是目标集[1,n]上的置换群,每个置换都写成不相交循环的乘积。G将[1,n]换分成l个等价类。c1(ak)是在置换ak的作用下不动点的个数,也就是长度为1的循环的个数。则不同等价类的个数 §6.4 Burnside引理 例 题 例2、一正方形分成4格,2种颜色着色,有能得到多少种不同的图像? 其中:经过转动相同的方案算是同一方案 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 (1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10)(11 12)(13 14 15 16) 旋转90° (1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11)(12)(13 15)(14 16) 旋转180° §6.4 Burnside引理 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 (1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10)(11 12)(13 14 15 16) 旋转90° (1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11)(12)(13 15)(14 16) 旋转180° (1)(2)(6 5 4 3)(10 9 8 7)(11 12)(16 15 14 13) 旋转270° (1)(2)…(16) 旋转0° c1(p1)=16 c1(p2)=2 c1(p3)=4 c1(p4)=2 §6.4 Burnside引理 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 c1(p1)=16 c1(p2)=2 c1(p3)=4 c1(p4)=2 §6.4 Burnside引理 解:每格有两种颜色可供选择,故有如图所示的16种可能方案。 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 当每个图都绕过中心点的轴按逆时针方向旋转90°,180°,270°时,得到16种图象的又一种排列,可以看作是16种图像的一种置换。分别讨论如下: (a)旋转0°为不动置换,有p1=(1)(2)…(16) (b)旋转90°,这时,C3被C4取代,C4被C5取代,…,C16被C13取代,有p2=(1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10)(11 12)(13 14 15 16) (c)旋转180°,这时,C3和C5互换, C4和C6互换,…,故有p3=(1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11)(12)(13 15)(14 16) (d)旋转270°,有p4= (1)(2)(6 5 4 3)(10 9 8 7)(11 12)(16 15 14 13) 不同等价类的个数: 定理 6.10 Pólya定理 :设 是目标集[1,n]上的置换群,每个置换都写成不相交循环的乘积, 是置换 的循环的节数,用m 种颜色对[1,n]中的元素着色,则不同着色方案数为 §6.5 Pólya定理 §6.5 Pólya定理 2 1 3 4 定理 6.10 §6.5 Pólya定理 定理 6.9 G={a1,a2,…,ag} 目标集 目标集 置换群 置换群 [1,n] n个对象上用m种颜色进行染色后的方案集合 §6.5 Pólya定
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