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人大2007年概率统计试题真题.doc
试题:(请将答案做再答题纸上,再试题上做题无效)
一、(20分)两个不能分辨的盒子里都有9个球,其中一个是5红4白,另一个是4红5白。从两个盒子中随机抽一个,希望通过无放回抽样来猜测抽到的是哪个盒子。其规则是:无放回抽取三次,如果抽到的红球多,则认为盒子是5红4白;反之认为是4红5白。问这样猜错的概率有多大?如果用有放回抽样,猜测的概率又有多少?
二、(20分)相互独立的随机变量X和Y分别服从参数为和的泊松分布,证明随机变量X+Y服从参数为+的泊松分布。要求用两种方法证明,其中一种是特征函数。
三、(10分)二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
求的概率密度函数。
四、(15分)设随机变量序列及分别以概率收敛于随机变量和,
证明:以概率收敛于。
五、(15分)二维随机变量(X,Y)的联合分布律
Y
X 0 1 2 -1 0.1 0.2 0 0 0 0.1 0.2 1 0.1 0.2 0.1
求和的分布律。
六、(20分)设…,是来自正态总体的简单随机样本,证明
(1)
(2) 与相互独立。
七、(15分)设总体X的分布函数为F,概率密度函数为,…,是总体X的简单随机样本,证明第个次序统计量的概率密度函数为
=…,
八、(20分)设总体X服从正态总体,其中已知。参数的先验分布为正态总体,其中和已知。…,是总体X的简单随机样本,求:
(1)参数的后验分布;
(2)在平方损失函数下求的贝叶斯估计;
(3)求的置信水平为的区间估计。
九、(15分)某市做电视收视率调查,随机调查了100人,在晚七点二十分收看中央台新闻联播节目的人数是45人,根据以往经验,这一时刻节目的收视率是50%:
(1)能否认为收视率有了显著减少(显著性水平=0.05);
(2)假设检验问题与区间估计具有对偶性,给出与以上假设检验问题相对偶的单侧区间估计,并说明如何由此区间估计做上面的假设检验。
(已知)
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