数学建模之淋雨量问题论文.doc

数 学 建 模 论 文 姓名：王琳琳 班级：软件101 辅导老师： 学号： 数学建模之淋雨量问题 摘要 当大雨来临时，人们总是习惯于拔腿就跑。摆脱困境的本能迫使我们加快速度，与此同时，日常经验又让我们很多人对跑得越快淋雨就越少这一点深信不疑。事实是否正如大多数人所想的呢？本文就“淋雨量与跑步速度关系”的问题建立了数学模型，从实际情况出发对不同条件下速度和淋雨量关系做出分析探究。 关键词 动态模型 速度选择 淋雨量 跑速 1. 问题的重述 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量就越少。 将人体简化成一个长方体，搞a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m。设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s,雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h,记得跑步速度为v，按以下步骤进行讨论： （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为x，如图一，建立总淋雨量与速度v以及参数a、b、c、d、u、w、x之间关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算x=0，x=30时的总淋雨量 （3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为y,如图2，建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、c、d、u、w、y之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算y=30时的总淋雨量。 (4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）进行作图，并解释结果的实际意义。 （5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。 2.问题的分析 在我们的日常生活中，下雨天气是不可避免的，当我们遇到此类的天气且身上没有携带避雨的雨具时，是否快跑就会减少身上的淋雨量呢？就此问题我们做一个模型假设查探我们的问题。总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。每个面上的淋雨量等于单位面积， 单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。面积由已知各边长乘积得出，时间为 总路程与人前行速度的比值。 再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。 当雨线方向和跑步方向不在同一平面时，我们设出雨线方向角，按照上述方法将其分解，同样可以解决问题。 3.模型的假设与符号说明 3.1模型的假设 将人体简化成一个长方体，高a=1.5m,宽b=0.5m.厚c=0.2m；设跑步的距离为1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h （1）雨速为常数且方向不变； （2）人体为一个长，宽，高都确定的长方体； （3）人体跑步速度不受其他因素影响； （4）降雨量在一定时期内为定值。 3.2符号说明 a 人体身高 b 人体宽度 c 人体厚度 d 跑步距离 跑步最大速度 u 雨速 降雨量 v 跑步速度 同一平面内，雨从迎面吹来，雨线与人体夹角 同一平面内，雨从背面吹来，雨线与人体夹角 t 全过程所花费的时间 s 面积 Q 淋雨量 不同平面内，雨线与跑步方向的夹角 雨线在人体正面所在平面内的分量与铅垂线的夹角 4.模型的建立与求解 4.1模型建立： 模型一:（1）题中所述不考虑雨的方向，假设降雨淋遍全身，此时的雨速也是均匀下落，由假设人体为长方体可知，该人体的表面积s=2ab+2ac+bc，因为跑步距离d=1000m，所以该人在雨中的淋雨时间t=d/vm，在该时间内的降雨量w=2cm/h=(0.0001/18)m/s 所以，总淋雨量Q=s*t*w 模型二：（2）《1》当雨迎面吹来时该人只有头顶和迎面淋雨，设头顶部淋雨量为Q1，由图一可知淋雨面积s1=bc,淋雨的时间t1=d/v，淋雨量（降雨方向与雨速方向应在一条线上）为w*cosx,由此可知淋雨总量Q1=s1*t1*w*cosx 《2》由图一可知，雨速在水平方向上的水平分量为u*sinx（方向与v相反），设定参照物后水平方向上的合成速度为u*sinx+v,淋雨面积s2=a*b,淋雨的时间t2=d/v,淋雨量为w*sinx+w*v/u(即本身的淋雨量加上人相对雨速的淋雨量)，迎面淋雨量Q2=s2*t2*w*(usinx+v)/u 由此可以得到该人在单