2006年硕士研究生入学考试（数学三）试题及答案解析.doc

2006年硕士研究生入学考试（数学三）试题及答案解析 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1） 【分析】将其对数恒等化求解. 【详解】， 而数列有界，，所以. 故 . （2）设函数在的某邻域内可导,且，，则 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，，两边对求导得 ， 两边再对求导得 ，又， 故 . （3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为， ， 所以 . 方法二：对微分得 ， 故 . （4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 2 . 【分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有 于是有 ，而，所以. （5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 . 【分析】 利用的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，具有相同的概率密度 　　　　　　　　　　　　. 则　 . （6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则 【分析】利用样本方差的性质即可. 【详解】因为 ， ， 所以 ，又因是的无偏估计量， 所以 . 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A) . (B) . (C) . 　　　 　(D) 　 . 　　 [ Ａ ] 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时， ，故应选(Ａ). （8）设函数在处连续，且，则 (A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D) 存在 [ C ] 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，则 . 令，则. 所以存在，故本题选（C）. （9）若级数收敛，则级数 (A) 收敛 . 　　　　　　　（B）收敛. (C) 收敛. 　　　　　 (D) 收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(Ｄ). 　　　　　或利用排除法： 　　　　　取，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； 　　　　　取，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. （10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是 （Ａ）. 　　（Ｂ）. （Ｃ）. 　　（Ｄ）　　　　 [ Ｂ ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可. 【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是　，故原方程的通解为　 ，故应选(Ｂ). （11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若，则. (B) 若，则. (C) 　若，则. (D) 　若，则. 　　　　　　　　　 [ Ｄ ] 【分析】 利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可. 【详解】 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则 ， 即 . 消去，得 　　　　　　　, 整理得　.（因为）， 若，则.故选（Ｄ）. （12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 若线性相关，则线性相关. 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记，则. 所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ). （13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则 （Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）. （Ｃ）.　　　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　［