数学分析6-3.pptVIP

一、问题的提出 五、小结 在 x0 点的 n 阶可导函数在 x0 点的n阶近似多项式存在且唯一 ，就是泰勒多项式； 佩亚诺型余项（定性的描述）的泰勒公式常用于讨论函数的局部性质，如求极限； 拉格朗日型余项（定量的描述）的泰勒公式常用于讨论函数的整体性质，如近似计算、误差估计以及建立函数与其高阶导数之间的联系。 作 业 P133. 5（6）（7）（10）（12） P141. 1（2） 2（1） 3（2） * §3 泰勒（Taylor）公式 多项式的两个突出的优点： 结构简单、易于计算；分析性质极佳。 不足: 问题: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 称之为f在x0的泰勒多项式。 泰勒公式 佩亚诺型余项 证 注1： 若f(x)=Pn(x)+o((x-x0)n),其中Pn(x)是某个n次多项式，这是并不意味着Pn(x)就是Taylor多项式Tn(x). 如： f(x)=xn+1D(x), n是正整数， 注2： 若f(x)=Pn(x)+o((x-x0)n),则Pn(x)是唯一的。 由注2得到： 当f(x)在 x0有直到n阶的导数时， 若f(x)=Pn(x)+o((x-x0)n),则Pn(x)只能是Taylor多项式。 ). ( ! ) 0 ( ! 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( 2 n n n x o x n f x f x f f x f + + + ￠ ￠ + ￠ + = L 解 例1 证明： 代入公式,得 由此可知 例2 证明： 解 常用函数的麦克劳林公式 sinx的Tailor多项式对sinx的近似情况： n=1时： sinx的Tailor多项式对sinx的近似情况： n=3时： sinx的Tailor多项式对sinx的近似情况： n=5时： sinx的Tailor多项式对sinx的近似情况： n=11时： 写出ax的麦克劳林公式。 解 例4 解 例 3 解 带Lagrange型余项的Taylor公式 泰勒定理： 若函数f在[a,b]上存在直至n阶的连续导数， 在（a,b）内存在n+1阶导函数，则 证明: 拉格朗日形式的余项 佩亚诺形式的余项 证毕。 注意: 麦克劳林(Maclaurin)公式 例6 解（1） （2） 例7 近似计算e的值，并估计误差。 解 在ex的Taylor公式中，取x=1,得 例8 证明e是无理数。 证 * 矛盾！ 故e是无理数。