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第四节　一阶线性微分方程 线性微分方程 *伯努利方程 小结、作业 作　业 第七章　习题一 剩下的作业 * 1/17 一阶线性微分方程的标准形式: 齐次的； 一、 线性微分方程 例如 线性的; 非线性的. 非齐次的． 2/17 通解 1. 齐次线性方程 解法 3/17 2. 非齐次线性方程 常数变易法（因变量代换）： 为非齐次线性方程的解 4/17 对应齐次方程的通解 非齐次方程的特解 的通解 5/17 解 例1 6/17 7/17 两边求导, 得 解 *例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲线 y = f (x) 与 y = x 3 截下的线段 PQ 之长等于阴影部分的面积, 求曲线 y = f (x) . 8/17 解微分方程 所求曲线为 9/17 标准形式 二、*伯努利(Bernoulli)方程 解法: 原方程化为 10/17 经过因变量代换化为线性微分方程. 解 例 3 11/17 例4 求解 解 所求通解 12/17 求解微分方程的基本方法： 利用变量代换、恒等变形，将所求微分方程化为会解的微分方程． 解 原方程化为 还原，得原方程的通解 13/17 解 代入原式得 由分离变量法得 得所求通解 例6 求解 14/17 例6 解 另解 15/17 *例7 求解 解 由分离变量法得 得所求通解 16/17 三、小结 1. 一阶齐次线性微分方程通解公式 2. 一阶非齐次线性微分方程通解公式 3. *伯努利微分方程及其解法 17/17 一阶微分方程解法小结 一阶微分方程 可分离变量微分方程 齐次微分方程 齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程 伯努利微分方程 * * * * *