2013中考数学压轴题由比例线段产生的函数关系问题.doc

2013中考数学压轴题由比例线段产生的函数关系问题 例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点． （1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长； （3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域． 图1 图2 图3 思路点拨 1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱． 2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形． 解析 在Rt△ABC中，AC＝6，， 所以AB＝10，BC＝8． 过点M作MD⊥AB，垂足为D． 在Rt△BMD中，BM＝2，，所以． 因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离． 图4 （2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况． ②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形． 在Rt△BOM中，BM＝2，，所以．此时． ③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE． 在Rt△BOE中，BE＝，，所以．此时． 图5 图6 （3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y． 在Rt△BNF中，BN＝y，，，所以，． 在Rt△ONF中，，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2． 于是得到． 整理，得．定义域为0＜x＜5． 图7 图8 考点伸展 第（2）题也可以这样思考： 如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，，． 在Rt△OMF中，OF＝，所以． 在Rt△BPQ中，BP＝1，，． 在Rt△OPQ中，OF＝，所以． ①当MO＝MP＝1时，方程没有实数根． ②当PO＝PM＝1时，解方程，可得 ③当OM＝OP时，解方程，可得． 例2 如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点． （1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行； （2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？ （3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1 解析 （1）当M、N都在O右侧时，，， 所以．因此MN与AB不平行． （2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA． ②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA． ③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么． 所以．解得t＝2． 图2 图3 图4 （3）①如图2，，，． ． ②如图3，，，． ． ③如图4，，，． ． 综合①、②、③，s ． 所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米． 例3 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，． （1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长； （2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． 图1 图2 备用图 思路点拨 1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三角形，注意对应关系． 2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E在BC上的图形画在备用图中． 3．第（3）题当E在BC上时，重新设BP＝m可以使得运算简便一些． 解析 （1）在Rt△ABC中，BC＝30，AB＝50，所以AC＝40，，． 在Rt△ACP中，． 在Rt△CMP中，因为，所以． （2）在Rt△AEP中，．