6-3唯一确定分式线性映射的条件.ppt

CH1_ §3 唯一确定分式线性映射的条件 一 唯一确定分式线性映射的条件 二 两个重要的分式线性映射 一 唯一确定分式线性映射的条件 二 两个重要的分式线性映射 * 定理 在 平面给定相异的三点 在 平面 也给定相异的三点 则存在唯一的分式线性 映射 使得 证 设 依次将 映射成 即 因此有 因此有 这就是所求得分式线性映射。 如果有另一个分式线性映射 也依次将 映射成 重复上面的步骤， 最后仍然得 因此所求得分式线性映射是唯一的。 根据上面的定理可知，在两个已知的圆周 分别 取相异的三点， 则必存在一个分式线性映射将 映射 成 但这个映射将 的内部映射成什么区域呢？ 首先注意到， 在分式线性映射下， 的内部(或一侧) 不是映射成 内部（或一侧）就是 的外部（或另一 侧）。 因此在分式线性映射下， 如果在 内部(某侧)任取 一点 而 的像在 的像 的内部(某侧), 如果 的像在 的 外部， 则 的内部(某侧)一定映射成 外部。 的内部 则 (某侧)一定映射成的 内部(某侧)； 设 为 上相异的三点， 在分式线性映射下 他们的法向分别为指向指定的区域， 则我们可以用下 面的方法来确定 内部的像。 我们规定 正向分别为 的走向， 上的相异的三点 他们的像为 例1 求一个分式线性映射 使得点 的 像依次为 解 由于 因此可设 将 代入得 所以 并问此分式线性映射将上半平面 映射成什么区域？ 所以 根据分式线性映射的保圆性， 将由 确定 的圆周(即实轴)映射成由 确定的圆周(即虚轴） 又由于 所以将上 面 半平面映射成左半平 且 根据上面的讨论可知：在分式线性映射下 1） 当两圆周上没有点映射成无穷远点时， 这两圆 周的弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域。 2） 当两圆周中有一个圆周上的点映射成无穷远点时， 两圆周的弧所围成的区域映射成圆弧与直线所围成的 区域。 3） 当两圆周的交点的一个映射成无穷远点时， 两圆 周的弧所围成的区域映射成角形区域。 例2 在分式线性映射 下， 区域 映射成一个什么样区域。 解 与 的交点为 将 分式线性映射 映射成坐标原点， 将 映射成 将原点映射成 因此将虚轴 部分映射成负实轴, 跟据 分式线性映射 原区域映射成 的保角性, 将 设 为上半平面上任意一定点， 在所求 的分式线性映射下映射成单位圆的圆心 根据分式 线性映射的保对称性， 关于实轴的对称点 一定被 映射成 关于单位圆周的对称点 因此设所求的分 式线性映射为 1 将上半平面 映射成单位圆 的分式线性映射 其中 为常数。 又由于此分式线性映射将实轴的点映射成单位圆周 上的点， 特别将坐标原点 映射成点 所以 因此 所以所求的分式线性映射为 这就是将上半平面映射成单位圆的分式线性映射的一般 形式。 例3 求将上半平面 映射成单位圆 的分 式线性映射 并满足 解 由条件 即将 平面的上半平面的点 映射成 平面单位圆的圆心 所以根据 设 由于 固有 利用 得 即