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坐标规则型动态规划 长沙市雅礼中学 朱全民 Robots 在一个n*m的棋盘内，一些格子里有垃圾要拾捡。现在有一个能捡垃圾的机器人从左上格子里出发，每次只能向右或者向下走。每次他到达一个点，就会自动把这个点内的垃圾拾掉。 问：最多能拾多少垃圾。在最多的情况下，有多少种拾垃圾方案？ 数据范围:n=100,m=100 样例分析 最多能拾5块。有4种方法。 分析(1) 因为机器人只能向右或者向下走。符合无后效性原则。于是考虑动态规划。 设F(i,j)表示从(1,1)点开始走到(i,j)的时候，最多捡了多少垃圾。 F(i,j)=Max{f(i-1,j),f(i,j-1)}+c[i,j] 其中C[i,j]=1表示(i,j)点有垃圾。C[i,j]=0表示没有 1=i=n,1=j=m，决策2种 时间复杂度为O(n*m) 分析(2) 设G[i,j]表示在f[i,j]最大的时候，有多少种方案。 捡到f(i,j)的垃圾只能从两个方向来走，方案数累加即可。因此， g(i,j)=g[i-1,j]*k+g[i,j-1]*L 如果f[i-1,j]+c[i,j]=f[i,j]，则K=1否则K=0。 如果f[i,j-1]+c[i,j]=f[i,j]，则L=1否则L=0 时间复杂度O(n*m) ? 矩阵取数游戏 （NOIP2007） 对于一个给定的n*m的矩阵，矩阵中的每个元素aij为非负整数。游戏规则如下： 1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。 m次后取完矩阵所有的元素； 2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾； 3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和；每行取数的得分 = 被取走的元素值*2i，其中i表示第i次取数（从1开始编号）； 4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。 求出取数后的最大得分。 样例 输入 2 31 2 33 4 2 输出 82 第1次：第一行取行首元素，第二行取行尾元素，本次的氛围1*21+2*21=6 第2次：两行均取行首元素，本次得分为2*22+3*22=20 第3次：得分为3*23+4*23=56。总得分为6+20+56=82 数据范围 60%的数据满足：1=n, m=30，答案不超过1016 100%的数据满足：1=n, m=80，0=aij=1000 1*21+2*21=6 2*22+3*22=20 3*23+4*23=56 1*21+2*22+3*23= 2*21+3*22+4*23 分析 首先，n行求值可以独立考虑！ 设f[i,j]表示区间i-j的最优值 f[i,j]=max{f[i+1,j]+w*a[i]?,?f[i,j-1]+w*a[j]} 其中w=w+w,即w*2 需要做若干次高精度加法和乘法。 直到求出，max{f[i,i]+w*a[i]，i=1..m}为止。 传纸条(NOIP2008) 小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。 班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次。 每个同学愿意帮忙的好感度有高有低，可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。 小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。 1=m,n=50 贪心 很容易想到一个算法： 求出1个纸条从（1，1）到（M,N）的路线最大值. 删除路径上的点值 再求出1个纸条从（M,N） 到（1，1）的路线最大值. 统计两次和 上述算法很容易找出反例，如下图。 第1次找最优值传递后，导致第2次无法传递。 分析 贪心算法错误，因此我们需要同时考虑两个纸条的传递。 由于小渊和小轩的路径可逆，因此，尽管出发点不同，但都可以看成同时从(1,1)出发到达(M,N)点。 设f(i1,j1,i2,j2)表示纸条1到达(i1,j1)位置，纸条2到达(i2,j2)位置的最优值。则有， 其中 (i1,j1) (i2,j2) 1=i1, i2=M, 1=j1 , j2=N 时间复杂度O(N2M2) 分析2 另一种思路：每个纸条都需要走M+N步才能达到目标。 因此，设F(k,i1,i2)表示两个纸条都走了K步，第1个纸条横坐标为i1,第2个纸条横坐标为i2的最优值。 则两个纸条的纵坐标分别为j1=K-i1, j2=K-i2 ,状态转移方程如下： 其中 i1i2 1=i1, i2=M,1=k=N+M 时间复杂度O((N+M)*M2) 免费馅饼 SERKOI最新推出了一种叫做“免费馅饼”的游戏。 游戏在一个舞台上进