第 西瓜开门 滚到成功.doc

第2 西瓜开门 滚到成功 ●计名释义 比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”. 数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f ((x)(0，则必有 A. f(0)＋f(2) 2f(1) B. f(0)＋f(2)≤2 f(1) C. f(0)＋f(2)≥ 2f(1) D. f(0)＋f(2)(2f(1) 　用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.　这点在已条件(x-1)f＇(x)≥0中暗示得极为显目. 其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论. (i)若f＇(x) 0时，则f(x)为常数：此时B、C符合条件. (ii)若f＇(x)0时. 则f＇(x)0时有x1，f(x)在上为增函数；f＇(x)0时x1. 即f(x)在上为减函数. 此时，C、D符合条件. 综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C. 考场上多见的错误是选D. 忽略了f＇(x)0的可能. 以为(x-1)f＇(x) 0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有值，f＇(x)0. ［再析］ 本题f(x)是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f(0)，f(1)，f(2).　因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想. (i)若f＇(x)=0，可设f(x)=１.　选项Ｂ、Ｃ符合条件. (ii)f＇(x)≠0. 可设f(x) =(x-1)2又　f＇(x)=2(x-1). 满足　(x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0而对 f (x)= (x-1)2. 有f(0)= f(2)=1，f(1)=0 选项C，D符合条件综合(i)，(ii)答案为C. 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化. ［再析］ 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终，如由f ((x)= 0找最值点x =0，由f ((x)0(0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到. (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，则常数f (x) = 1符合条件. (右图水平直线) (ii)若f (0)= f (2) f (1)对选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x-1) f ((x)≥0 若f (0)= f (2) f (1)对选项C，D(右图下拱曲线). 则满足条件(x-1) f ((x)≥0. 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f ((x)≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函 数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数. 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f ((x)≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是 A. f(x)= (x-1)3 . f(x)= (x-1) C. f(x)= (x-1) D. f(x)= (x-1) ［解析］ 对Af (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0对Bf (0)无意义 对Cf (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0 答案只能是D. 对D f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1. 且f ((x)=(x-1)使得 (x-1) f＇(x) =(x-1)(x-1) ≥0. 以x=1为对称轴开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f((x)=(x-1) ，其中m，n都是正整数，且n≥m. 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用. 已知实数x，y满足等式 ，试求分式的最值。 (函数方程思想运用) 令 y = k (x-5) 与方程联立 消y，得：根据x的范围应用根的分布得： 即 ≤≤ 即所求的最小值为，最大值为. ［插语］ 解出≤≤