函数与方程的思想方法.doc

2010高考数学考点预测： 函数与方程的思想方法 《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ） A． B． C． D． 分析：要比较函数值的大小，就要由已知条件求得函数解析式，本题中的都未知，只有一个等式，就需要我们再挖掘一个等式，由函数的奇偶性容易想到用替换，从而得到两个方程组成方程组解出。 解：因为，用替换得： 因为函数分别是上的奇函数、偶函数，所以，又 解得：，而单调递增且，∴大于等于0，而，故选。 答案： 评注：本题中利用函数的性质再得一方程，通过解方程组求得函数的解析式，再回归到函数的单调性比较函数值的大小关系，是函数与方程的较好得结合。 2、构造函数解题 例2. (2008天津卷理），若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 。 分析:题目给出的方程中含有等多个字母，而条件中是对任意的都有，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于的函数，再进一步研究函数的性质。 解：由已知，得（其中），函数为反比例函数，在（）上为单调递减，所以当时，又因为对于任意的，都有，所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为。 答案： 评注:本题看似方程问题，实质是函数问题，通过分析、转化为函数，并运用函数的性质将问题转化为不等式组解出。本题中自觉地、巧妙地运用函数的思想来指导解答问题。 3、函数与方程、不等式的转化 例3．（2008广东卷，理14)已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ． 分析：求参数的范围，可以先将分离出来，表示为的函数，求出函数的值域，进而得到参数的范围 解：方程即,利用绝对值的几何意义,得，可得实数的取值范围为 评注：本题将方程转化为函数，利用函数的值域得到的不等式，求得参数的范围。 例4．（福建德化一中2008，理）若关于x的方程的两根满足，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 分析：本题是研究二次方程的实根分布问题，可以转化为二次函数，由二次函数的图象转为函数值表示的不等式组解出。 解：设函数，∵关于x的方程的两根满足，∴即∴，故选择。 答案： 评注：对于二次方程的实根分布问题，要转化为二次函数，由二次函数的图象和各端点对应的函数值以及二次项系数和对称轴解答。 4、函数与方程在立体几何中的应用 例5．（2008北京卷，理，8）如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ） 分析：本题是立体几何与函数的交汇题，可以先观察题目并进行空间想象加以判断，再由的特殊性与平面垂直，可以把向平面内作正投影，保持其长度不变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内研究函数关系即可顺利完成。 解：设正方体的棱长为，由图形的对称性知点始终是的中点， 而且随着点从点向的中点滑动，值逐渐增大到最大，再由中 点向点滑动，而逐渐变小，排除，把向平面内正投 影得，则=，由于， ∴，所以当时，为一次函数，故选 答案： 评注：本题为函数的变化趋势问题，通过观察进行理性地分析，再从数值上加以运算。 5、函数与方程在解析几何中的应用 例6．（2008山东淄博）若、分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （Ⅱ）设过定点，的直线与椭圆交于两不同的点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 分析：（Ⅰ）中可以设出点的坐标，用坐标表示出，得到函数求最值。（Ⅱ）中研究直线与椭圆的交点，需要解方程组，由韦达定理解答即可。 解：（Ⅰ）解法一：由椭圆方程知 所以　，设　 则　 又 ∴ ，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值． 解法二：易知，所以，设 则 （以下同解法一）