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导函数含参问题的基本讨论点 1、求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 例1：设，函数，试讨论函 数的单调性。 2、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。 例2：已知是实数，函数。 （1）求函数的单调区间； （2）设为在区间上的最小值。 ①写出的表达式； ②求的取值范围，使得。 3、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），其中。 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间与极值。 例4：设函数，其中，求函数的极值点。 练习1：已知函数，其中常数， 是奇函数。 （1）求的表达式； （2）讨论的单调性，并求在区间上的最大值和最小值。 练习2：已知函数。 （I）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性。 练习3：已知函数。 （1）当时，讨论的单调性； （2）设，当时，若对任意，存在，使不等式成立，求实数的取值范围。 导函数含参问题的基本讨论点 1、求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 解对于，分段进行研究。 对于，分类： 当时，，∴函数在上是增函数；当时， 令得或（舍），函数在上是减函数，在上是增函数； 对于，分类： 当时，，函数在上是减函数； 当时，，解得； 函数在上是减函数，在上是增函数，， 由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。 当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为； 当时，由，得；由，得； 因此，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。 （2）①由第（1）问的结论可知： 当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以：当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减， 所以； 综上所述， ②令。 若，无解； 若，由解得； 若，由解得。 综上所述，的取值范围为。 3、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）时，曲线在点处的切线方程为； （2）由于，所以， 由，得。这两个实根都在定义域内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。 当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。 当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。 点评：以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。 例4：设函数，其中，求函数的极值点。 解：由题意可得的定义域为，，的分母在定义域上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。 当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。 当，即时，方程，即有两个不相等的实根： 。这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论： 当时，， 所以。此时，与随的变化情况如下表： 由此表可知：当时，有唯一极小值点。 当时，， 所以。此时，与随的变化情况如下表： 由此表可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点。 综上所述： 当时，有唯一极小值点； 当时，有一个极大值点和一个极小值点 ； 当时，无极值点。 练习1： 练习2： 解：（1）当时，，所以 因此，曲线在点处的切线方程为； （2）因为， 所以，， 令 当 所以，当，函数单调递减； 当时，，此时单调递； 当，即，解得 当时，恒成立，此时，函数在上单调 递减； 当 时，单调递减； 时，单调递增； ，此时，函数单调递减； 当时，由于， 时，，此时，函数单调递减； 时，，此时，函数单调递增。 综上所述： 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数 上单调递减。