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研究生课程进修班试卷封面 姓 名： 刘庆风 单　　位： 河南省扶沟县韭园高级中学 专 业： 数学教育 考试科目： 现代数学与中学数学 考试分数： 2011年 12 月 26 日 东北师范大学研究生课程进修班考试试卷评分表 课程名称现代数学与中学数学 姓 名 刘庆风 单　　位 扶沟县韭园高中 专 业 数学教育 2011年　12　月　26 日 题 号 分 数 签 名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总 分 评阅教师签字： 年 月 日 现代数学与中学数学 考试卷 一、(10分) 对下列各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例 （1） （2） 证明：（1）不正确。 对 ， 若非线性函数，如， 则 而 所以（1）不正确 （2）正确，证明如下：对 二、（10分） 若函数在点可导，计算 （1） （2） 解：(1) 三、（10分） 求一函数，其曲线过坐标原点且曲线上每一点切线斜率是该点横坐标的2倍。 解：因为曲线上每一点切线的斜率是该店横坐标的2倍， 所以且， 式两端积分得，又， 四、（10分）证明：若，则 法Ⅰ证明：∵ 又∵，y=cosx,在区间（0，）单调递减∴> 即>， ∴ 法Ⅱ 证明：设A() B() C()∵在区间（0，）大于0，在区间（，） 小于0.∴y=sinx在区间（0，）任意点的切线的斜率大于。0，在区间（，）任意点的切线的斜率小于0. 当时，斜率增长的缓慢，而=KAB , =KBC显然KAB小于KBC当时，=KAB 大于0，=KBC小于0.∴ 五、（10分）求顶点在坐标原点的锥面与平面所围成的锥体的体积。 解：所成圆锥地面为椭圆，其面积为, 所以所围椎体的体积 六、（10分） 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.3,0.6。今各投2次。求甲比乙投中次数多的概率。 解： 七、（10分） 要研究某种物质致癌性质，用小白鼠做试验。假定把50只小白鼠随机地分成10组，每组5只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段时间后，观察每组小白鼠患癌的个数，得到，则，这里就是这种物质致癌的概率。试导出的最大似然估计值的计算公式。 解：为样本的一组观测值，从而似然函数 从而 令 得的最大似然估计值为：==， 的最大似然估计量为：=。 八、（10分） 甲同学在他的盒子中放了200个玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告诉其他任何人），甲同学当众宣布：他的这些球中黑球所占比例p=3%，乙同学从甲同学的盒子中任意取若干个球（比如：10个），观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。（1）假如乙同学发现他任取的10个球中2个黑球，问此时乙同学能否相信甲同学的说法？（2）假如乙同学发现他任取的10个球没有黑球，问此时乙同学对甲同学的说法又应做何反应？ 答：（1）此时乙同学不能相信甲同学的说法，因为按照甲的说法，出现黑球应为小概率事件，而小概率事件竟然发生了，说明甲说的不可信。 （2）若没有发现黑球，此时乙同学也不可完全相信甲同学的说法，因为所取样本不完全合理。如果采用分组取样，结果更有说服力。 九、（10分） 用选主元素的Gauss消元法求解 请指明消元、回代过程。 解法1：记 以下为回代过程 法2. 解：原方程等价为： (6.1.1) 如果从第二个方程中减去第一个方程的倍，再从第三个方程减去第一个方程的倍，则得等价方程组 　(6.1.2) 其中第二、三个方程中变元已被消去了．类似地，从方程组(6.1.2)的第三个方程中减去第二个方程的倍，即可消去(6.1.2)中第三个方程的变元，最后得到与(6.1.1)等价的如下方程组 (6.1.3) 方程组(6.1.3)很容易求解,可按如下方式进行．由(6.1.3)的第三个方程直接解出将其代入(6.1.3)的第二个方程可解出，最后将共同代入(6.1.3)的第一个方 程解出． 将原方程组(6.1.1)化成方程组(6.1.3)的过程称为消元过程，求解方程组(6.1.3)的过程称为回代过程． 十、（10分） 使用二分法求解于[1,2]内的根，二分3次即可。 解：