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一、空间点的直角坐标 一、向量的概念 二、向量的加减法 三、向量与数的乘法 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 三、向量的混合积 一、曲面方程的概念 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 一、基本内容 定义 三、柱面 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线,动直线 叫柱面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线,动直线 叫柱面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线,动直线 叫柱面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线,动直线 叫柱面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线,动直线 叫柱面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线,动直线 叫柱面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线,动直线 叫柱面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线,动直线 叫柱面的母线. 定义 三、柱面 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线,动直线 叫柱面的母线. 柱面举例 抛物柱面 平面 从柱面方程看柱面的特征: (其他类推) 实 例 椭圆柱面 // 轴 双曲柱面 // 轴 抛物柱面 // 轴 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程. 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点: 空间曲线的参数方程 消去变量z后得: 曲线关于 的投影柱面 设空间曲线的一般方程: 以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征: 类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 面上的投影曲线, 面上的投影曲线, 空间曲线在 面上的投影曲线 如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法线向量. 法线向量的特征: 垂直于平面内的任一向量. 平面的点法式方程 法向量 已知点 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 平面一般方程的几种特殊情况: 平面通过坐标原点; 平面通过 轴; 平面平行于 轴; 平面平行于 坐标面; 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 定义 (通常取锐角) 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征: // 点到平面距离公式 数量积符合下列运算规律: (1)交换律: (2)分配律: (3)若 为数: 若 、 为数: 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 数量积的坐标表达式 定义 关于向量积的说明: // 向量积也称为“叉积”、“外积”. 二、两向量的向量积 向量积符合下列运算规律: (1) (2)分配律: (3)若 为数: 向量积还可用三阶行列式表示 // 由上式可推出 补充 例如, 定义 设 混合积的坐标表达式 关于混合积的说明: (1)向量的混合积是一个数量. 曲面方程的定义: 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题: (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状. (讨论旋转曲面) (讨论柱面、二次曲面) (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程. 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 播放 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线
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