- 1、本文档共8页,可阅读全部内容。
- 2、原创力文档(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
整环和域
§3.7 整环和域
3.7.1 定义 零因子 R是环,a, b(R。
(1) 如果a(0, b(0且ab = 0,则称a是b的左零因子,b是a的右零因子。
(2) 如果a是某个元素的左零因子,即a(0且存在b(0,使得ab = 0,则称a是一个左零因子。
(3) 如果b是某个元素的右零因子,即b(0且存在a(0,使得ab = 0,则称b是一个右零因子。
如果a不是左零因子,则任给b(R,都能从ab = 0得到b = 0。同样,如果a不是右零因子,则任给b(R,都能从ba = 0得到
b = 0。
左零因子和右零因子都称为零因子。由定义3.7.1可知,如果R有左零因子,则R一定有右零因子,同样,如果R有右零因子,则R一定有左零因子。所以只说R有没有零因子就行了。
3.7.2 例 Z没有零因子,但M2(Z)有零因子,取A =,B =,则A(0, B(0且AB = 0。一般的,如果R不是零环,则R的n(n(2)阶矩阵环Mn(R)有零因子。
3.7.3 例 在环P(A), △, (, (, A中,任给B(P(A),如果B(A且B((,则B就是零因子,因为B(= (。
3.7.4 例 如果R是至少有两个元素的环,则单位元1不是零因子。
3.7.5 定义 消去律 R是环。称R有消去律,如果R满足:
(1) 任给a, b, c(R,如果a(0且ab = ac,则b = c。
(2) 任给a, b, c(R,任给a(0且ba = ca,则b = c。
R有没有零因子和R有没有消去律有密切关系。
3.7.6 定理 R是环,则R没有零因子当且仅当R有消去律。
证 设R有零因子,证明R没有消去律。
取R的左零因子a,则a(0且存在b(0,使得ab = 0,所以ab = 0 = a0,但b(0,因此R没有消去律。
设R没有零因子,证明R有消去律。
(1) 任给a, b, c(R,如果a(0且ab = ac,则a(b(c) = 0,由R没有零因子得b(c = 0,所以b = c。
(2) 任给a, b, c(R,如果a(0且ba = ca,则(b(c)a = 0,由R没有零因子得b(c = 0,所以b = c。■
无零因子的交换环是一种很重要的环。
3.7.7 定义 整环 R是至少有两个元素的交换环,如果R没有零因子,则称R是整环。
由定理3.2.6可知,对于至少有两个元素的交换环来说,R是整环当且仅当R有消去律。
3.7.8 例 Z, Q, R, C都是整环。Z / n是整环当且仅当n是素数。
3.7.9 例 如果R不是零环,则R的n(n(2)阶矩阵环Mn(R)不是整环。如果A中至少有两个元素,则环P(A), △, (, (, A中不是整环。
3.7.10 例 整环的子环也是整环。所以任给n是非平方元,Z[]和Q[]都是整环,任给n(0,Z[]和Q[]都是整环。
3.7.11 例 R不是整环,但R的子环可能是整环。取A是至少有两个元素的集合,则P(A), △, (, (, A(见例3.2.9)不是整环。取( = {A, (},则(, △, (, (, A是 P(A), △, (, (, A的子环,且(, △, (, (, A是整环。
3.7.12 定义 逆元 R是环,a, b(R。
(1) 如果ab = 1,则称a是b的左逆,b是a的右逆。
(2) 如果b既是a的左逆又是a的右逆,即ab = 1且ba = 1,则称b是a的逆元。
(3) 如果a有逆元,则称a是可逆元。
3.7.13 定理 R是环。
(1) 如果b是a的左逆,c是a的右逆,则b = c。
(2) 逆元的唯一性 如果b和c都是a的逆元,则b = c。
证 (1) 由b是a的左逆得ba = 1,由c是a的右逆得ac = 1,所以b = b1 = b(ac) = (ba)c = c。
(2) 因为b和c都是a的逆元,所以b是a的左逆且c是a的右逆,由(1)得b = c。■
由定理3.2.13(2),如果a是可逆元,则a就有唯一的逆元,记为a(1。
3.7.14 定理 R是环,a, b是R的可逆元。
(1) 1是可逆元,且有1(1 = 1。
(2) a(1是可逆元,且有(a(1)(1 = a。
(3) ab是可逆元,且有(ab)(1 = b(1a(1。
证 (1) 因为1(1 = 1,所以1是可逆元且1是1的逆元,因此1(1 = 1。
(2) 因为aa(1 = 1且a(1a = 1,所以a(1是可逆元且a是a(1的逆元,因此(a(1)(1 = a。
(3) 因为(ab)(b(1a(1) = a(bb(1)a(1 = aa(1 = 1,
(b(1a(1)(ab) = b(1(a(1a)b = b(1b = 1,
所以ab是可逆元且b(1a(1是ab
您可能关注的文档
- 数组实验-方培-.doc
- 数调.doc
- 数辆机动车肇事致人损害.doc
- 整十数加减整十数教学反思 ().doc
- 文件夹删不掉的处理方法.doc
- 文化建设文字材料(修改稿).doc
- 文件或文件夹的移动.doc
- 文化街文盛社区党代表进社区理事工作汇报、.doc
- 文娱与运动.doc
- 文娱协会.doc
- 2024年05月山东交通职业学院招考聘用博士研究生50人笔试历年典型题及考点剖析附带答案含详解.docx
- 2024年05月安徽芜湖市弋江区老年学校(大学)工作人员特设岗位公开招聘2人笔试历年典型题及考点剖析附带答案含详解.docx
- 2024年05月山东东营河口区教育类事业单位招考聘用22人笔试历年典型题及考点剖析附带答案含详解.docx
- 2024年05月山东交通职业学院招考聘用100人笔试历年典型题及考点剖析附带答案含详解.docx
- 2024年05月山东威海职业学院招考聘用高层次人才2人笔试历年典型题及考点剖析附带答案含详解.docx
- 2024年05月安徽石台县事业单位工作人员33人笔试历年典型题及考点剖析附带答案含详解.docx
- 2024年05月山东滨州市博兴县事业单位公开招聘考察笔试历年典型题及考点剖析附带答案含详解.docx
- 2024年05月安徽蚌埠固镇县湖沟镇选聘村级后备干部7人笔试历年典型题及考点剖析附带答案含详解.docx
- 2024年05月山东省安丘市教育和体育局所属事业单位学校公开2024年招考232名工作人员笔试历年典型题及考点剖析附带答案含详解.docx
- 2024年05月山东临沂临港经济开发区工作人员(5人)笔试历年典型题及考点剖析附带答案含详解.docx
文档评论(0)