15不畏浮云遮望眼除却繁华显真颜-2014福建理科数学第19题背景探源及拓展.pdfVIP

2015年第2期 中学数学研究 ·15 · 不畏浮云遮望眼 除却繁华显真颜 ———2014福建理科数学第19题背景探源及拓展 福建省连江第一中学 （350500） 李 锋 2014 年高考福建卷在贯彻课标理念，立足学科 性、灵活性与严谨性；解法2 通过改变直线方程的斜 基础，强调能力立意的基础上，坚持平稳过渡并适度 截式设法，设直线方程为l：x = my + t，有效避开了 创新，关注考生潜能和数学素养的考查，强调本质， 斜率是否存在的分类讨论，直接推证求解，反映了扎 体现学科教学的核心内容、基本思想及教育价值，充 实的基础知识与基本技能、较强的逻辑推理及运算 分发挥对中学数学教学的正确导向作用，可谓朴实 变换能力，思维聚敛，方法精彩；解法3 则通过设而 中绽放精彩，常规中彰显能力，“清新自然，内涵丰 不求思想，利用弦长公式及韦达定理，自然流畅，凸 富” 显解析几何处理问题的重要思想. 考生对直线方程 .现以理科第19 题为例进行分析，揭本探源，并 进行拓展研究. 形式、面积计算方法的选择以及特殊与一般思想的 1 真题再现及赏析 运用，均折射出其双基的底蕴、思维的品质及学科的 x y2 2 素养.基于以上分析，本题不仅具有较好的考查功 已知双曲线E： - = a b2 2 能，实现对不同思维程度学生的考查，区分度较高， 1（a 0，b 0）的两条渐近线 而且体现了解析几何的核心内容，很好地反映了解 分别为l ：y = 2x，l ：y = -2x.1 2 析几何的教育价值. （ ）求双曲线E 的离心 Ⅰ 第（ ）问的结果引起笔者探究的兴趣，这个 Ⅱ 率； “动中有定”、“变与不变”和谐共存的优美结论是 （Ⅱ）如图1，O 为坐标原 否具有一般性，两条定直线l ，l 、动直线l及双曲线 1 2 点，动直线l分别交直线l ，l 于 E 之间到底隐藏了什么关系，试题背后的深刻根源 1 2 A，B 两点（A，B 分别在第一、四 是什么？笔者特意去求线段AB 的中点C 的轨迹方 图1 象限），且 OAB 的面积恒为 △ 程，发现其正好是符合题目要求的总与直线l 有且 8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共 只有一个公共点的双曲线E，通过进一步的探究，笔 点的双曲线E？若存在，求出双曲线E 的方程；若不 者终于发现了本题的背景，并挖掘出其中的丰富内 存在，说明理由. 涵. 赏析：本题主要考查双曲线的方程与性质、直线 2 试题推广及背景探源 与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括 将试题结论推广到一般情形，并研究其逆命题， 能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一 容易证明得到如下结论： 般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程