一节未按教学设计完成的课正弦定理.docVIP

正弦定理教学案例 汾西一中 刘惠文 一、背景介绍 结合课改的精神和我校“以人为本”的教育理念的指导，高中数学教学不仅仅局限于接受、记忆、模仿和练习，更应该倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”的过程。在物理学等其它学科生产生活==，是否任意三角形都有这种边角关系呢？ 1、探索发现猜想 老师：我们先通过特殊例子检验==是否成立，举出特例，给学生指明一个方向。 如图一的第一个图中，在ΔABC中，∠A=∠B=∠C=60o，对应的边长a：b：c=1，对应角的正弦值分别为，，；引导学生考察，，的关系 学生1：:它们相等，都是 如图一的第二个图中，在ΔABC中，∠A=∠B=45o，∠C=90o，对应的边长a=b=1，c=，对应角的正弦值分别为，，1； 学生2：:它们相等，都是 如图一的第三个图中，在 ΔABC中，∠A，∠B，∠C分别为30o，60o，90o，对应的边长a=1，b=，c=2，对应角的正弦值分别为，，1； 学生3：:它们相等，都是2 老师：下面我们考虑任意的Rt△ABC，结论如何？ 学生4：思考交流得出，如图2，在RtΔABC中， 设BC=a,AC=b,AB=c, 则有sinA=, sinB=,又sinC=1=, 则===c 从而在直角三角形ABC中，== 老师：更进一步，对于任意三角形是否有==呢？ 学生按事先安排分组，让学生阅读，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算。） 学生：分组互动，每组画一个三角形，席量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、、的近似值。 老师：放映利用《几何画板》制作的多媒体动画，画面将显示：不管三角形的边、角如何变化， 比值：，，的值都会相等。 我们猜想：== 设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。 2、探索证明定理 老师：我们通过验证知道结论成立，那么对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明==呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。 学生5：在三角形中，如图3设BC=a，CA=b,AB=c 作：AD⊥BC，垂足为D 在RtΔABD中，sinB= ∴AD=AB·sinB=c·sinB 在RtΔADC中，sinC= ∴AD=AC·sinC=b·sinC ∴c·sinB=b·sinC ∴= 同理，在ΔABC中，=∴== 学生6：不对，如果是钝角三角形，就不对，如图4 老师：( ^_^ )不错嘛，由于钝角三角形与锐角三角形的高位置不同，得重新考虑，那么同学6说一说你的证明方法。 学生6： 在钝角三角形中，如图4设∠C为钝角，BC=a,CA=b,AB=c作AD⊥BC交BC的延长线于D，在RtΔADB中，sinB= ∴AD=AB·sinB=c·sinB, 在RtΔADC中，sin∠ACD= ∴AD=AC·sin∠ACD=b·sin∠ACB ∴c·sinB=b·sin∠ACB ∴= 同锐角三角形证明可知= ∴== 3、深入探讨研究 老师：我们把这条性质称为正弦定理。在向量中，我也学过·=··cosθ,这与边的长度和三角函数值有较这密切的联系，是否能够利用向量来证明正弦定理？师生共同复习利用向量数量积解决数学问题的方法：先找向量等式，再同乘某一向量来处理。 学生7：思考（联系作高的思想）得出： 在锐角三角形ΔABC中，＋=，作单位向量垂直于AC，·=·＋· 即0∴=c·cos(90o-A)＋a·cos(90o-C) ∴c·sinA-a·sinC=0 ∴= ∴==（图5） 对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。 老师：大家还有其他的证明方法吗？ （本来这节课准备到此为止，讲例题，可有学生亟不可待的站起来。） 学生8：可借助初中所学过的面积公式和三角函数知识思考得出。 老师：很好，你上来给咱们证明一下。 学生8讲解：如图6，对于任意ΔABC，由初中所学过的面积公式可以得出：SΔABC=AC·BD=CB·AE=BA·CF，而由图中可以看出： sin∠BAC=,sin∠ACB=,sin∠ABC=, ∴BD=AB·sin∠BAC,AE=AC·sin∠ACB,CF=BC·sin∠ABC ∴SΔABC=AC·BD=CB·AE =BA·CF =AC·AB·sin∠BAC =CB·CA·sin∠ACB =BA·BC·sin∠ABC =b·c· sin∠BAC =a·b· sin∠ACB =c·a· sin∠ABC 等式b·c· sin∠BAC=a·b· sin∠ACB=c·a· sin∠ABC 中均除以abc后可得 =