实验三周期信号频域分析.doc

实验三 周期信号频域分析 1实验目的 (1) 掌握连续周期信号傅里叶级数的物理意义和分析方法。 (2) 观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因。 (3) 学习利用MATLAB语言编写计算CTFS的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析。 2 实验原理 2.1周期信号的傅里叶级数CTFS分析 任何一个周期为T1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 其中三角傅里叶级数为： 3-1 或： 3-2 其中，称为信号的基本频率，分别是信号小x(t)的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率的函数，绘制出它们与之间的图像，称为信号的频谱图(简称“频谱”)，图像为幅度谱，图像为相位谱。 三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量，其幅度为ck。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 指数形式的傅里叶级数为： 3-3 其中，为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算： 3-4 指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系的周期复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度为。这里“复幅度”指的是通常是复数。 上面的傅里叶级数的合成式说明，可以用无穷多个不同频率的周期复指数信号来合成任意一个周期信号。然而，用计算机(或任何其它设备)合成一个周期信号，显然不可能做到用无限多个谐波来合成，只能取这些有限个谐波分量来近似合成。 假设谐波项数为N，则上面的和成式为： 3-5 显然，N越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。本实验可以比较直观地了解傅里叶级数的物理意义，并观察到级数中各频率分量对波形的影响包括“Gibbs”现象：即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。这一现象在观察周期矩形波信号时可以看得很清楚。 2.2傅里叶级数CTFS的MATLAB实现 2.2.1 傅里叶级数的MATLAB计算 设周期信号x(t)的基本周期为T1，且满足狄里克利条件，其傅里叶级数的系数可由式3-4计算得到。式3-4重写如下： 基本频率为： 对周期信号进行分析时，我们往往只需对其在一个周期内进行分析即可，通常选择主周期。 假定x1(t)是x(t)中的主周期，则： 计算机不能计算无穷多个系数，所以我们假设需要计算的谐波次数为N，则总的系数个数为2N+1个。在确定了时间范围和时间变化的步长即T1和dt之后，对某一个系数，上述系数的积分公式可以近似为： = 对于全部2N+1个系数的计算可用MATLAB程序实现： T = 2; dt=0.00001; t = - T /2:dt: T /2; w0 = 2*pi/T; x1 = input(x1= ); N = input(N=); for k = -N: N ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t)*dt; end 对周期矩形信号来说，若N=4，计算9个傅里叶级数的系数的程序如下： T = 2; dt=0.00001; t = - T /2:dt: T /2; w0 = 2*pi/T; x1=u(t+1/2)-u(t-1/2); N =4; for k = -N: N ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t)*dt; end ak 运行结果如下： 0.0000 + 0.0000i -0.1061 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.3183 + 0.0000i 0.5000 0.3183 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.1061 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 在上述程序后面补充如下程序段即可画出周期矩形信号的幅度谱和相位谱，运行结果如图3-1所示。 k = -N:N; subplot(211),stem(k,abs(ak)) hold on,plot(k,abs(ak),ro) title(周期