平面與空間曲線曲率研究與軌跡動畫模擬-prof.j.t.chen(陳正宗).doc

平面與空間曲線曲率研究與軌跡動畫模擬 指導教授：陳正宗終身特聘教授 施佑勳 高聖凱 李家瑋 國立台灣海洋大學 河海工程系 關鍵詞：Frenet formula，Mathematica，弧長參數表示法，曲率半徑，扭率 摘要 本探討空間曲線。向量微積分的觀點曲線弧長參數表示法作為切入點，引入Frenet formula的手法求得空間曲率。針對已知起始點與相關曲率之限制條件，透過Frenet formula轉換成具初位置與初(frame)之聯立微分方程求解問題計算。最後運用Mathematica軟體建構軌跡動畫。相信本對日後學生學習、老師教學與工程運用都會有相當的幫助。 在日常生活中，一般道路在直線段並無曲率或稱曲率半徑無限大。但在於曲線路段時，將產生離心力，使車輛滑出車道，並造成翻車。所以車輛由直線段進入曲線段在此兩路段間必需逐漸調整方向，而在圓曲線路段內車輛有一定的離心力，在公路設計時亦需要有一路段區間以供調整路面的傾斜度以平衡車輛離心力，再則曲線路段內車輛後輪將向圓心方向偏移，所以圓曲線路段需要加寬，這路線方向的調整、路面傾斜度的漸變以及路面加寬通常會由曲率來決定，超高設計是與曲率有關的。在數學應用上，通常使用微積分技巧求曲線之曲率，而曲率主要是用來描述曲線上某處，曲線彎曲變化的程度。當曲線軌跡推至三維後，描述線段軌跡的因素則多了一項扭率。在材料力學梁橈曲中[1]，計算正向應力時的推導，亦需使用到曲率觀念。拜現代科技進步所賜，目前學習趨向多元化，不僅有前人推導的相關理論，更可藉由更多的輔助學習工具，增進學習速度和效率。本論文使用了Symbolic software的Mathematica[2-3]，利用其強大的符號運算能力，更可輸出以動畫模擬。不同以往的靜態教學，增添動畫模擬的輔助，更能吸引初學者令其產生極大之學習興趣。 研究方法與步驟 文獻回顧與探討 Frenet formula 　　給一空間曲線，其時間參數表示式為，藉由弧長關係式可寫成 (1) 若將時間參數表示法轉至空間參數表示法，則 (2) 其中，為位置向量。單位切向量，定義為 (3) 其中，為微小弧長。單位法向量因與正交，故可令 (4) 單位雙法向量(binormal vector)，則與和向量正交。因此可得 (5) 則、與三向量的關係，如圖一所示 由(3)式可知，單位切向量可表示為 (6) 將 (7) 利用泰勒展開式將與展開，可得 (8) (9) 將(8)與(9)式代入(7)式，可得 (10) (11) 又 (12) 可推得 (13) (13)式代入(11)式可得 (14) 則 (15) (16) 由(15)式與圖二可得 (17) 將(17)式代入(4)式，可知 (18) 又 (19) 則 (20) 用(20)式可知，與正交關係，故可令 (21) 因 (22) 則 (23) (18)式代入(23)式可得 (24) 因與正交，可得 (25) 由(21)式等號兩邊與作內積，可得 (26) 因、正交，可得 (27) 所以 (28) 因此令 (29) 其中 (30) 為扭率，而 (31) 又、與相互正交，故 (32) 　　 　　(33) 整理(18)、(29)與(33)式得狀態空間表示式如下： (34) 令 (35) 則(34)式可寫成 (36) 即為 Frenet formula，其中 (37) 可看出為反對稱矩陣。 求解過程 　　計算步驟流程分述如下： (a) 轉換參數表示法。將時間曲線參數式，轉換成弧 長表示式。 (b) 求單位切向向量。 (c) 求曲率半徑。 (d) 求法向量。 (e) 求雙法向量。 (f) 求扭率。 (g) 列出聯立微分方程並求解。