数学物理方程--- 2 分离变量法详解.ppt

所以，有 此方程为一阶常微分方程初值问题，其齐次方程通解为 令 ，代入上面方程，确定系数得 方程通解为 用初值条件 ，可得 则有 又由 则 例8： 细杆热传导。初始均匀温度为 ，保持一端温度不变，另一端有恒定热流 流入。 第一类边界条件 第二类边界条件 非齐次 不为零 边界条件, 无法直接根据边界条件确定本征函数 解＝齐次边界条件的通解＋非齐次边界条件的特解 非齐次边界条件的特解： 齐次边界条件的通解: * 初始条件: 分离变量: 和 * “和”是迅速衰减的部分。近似：只保留 k 0 项。 * 泛定方程 边界条件 本征值问题 本征值 本征函数 k 1,2,3… k 0,1,2,3… * k 0,1,2,3… k 0,1,2,3… 2.2.3 平面上位势方程定解问题 考虑矩形区域上的Poisson方程边值问题 假设 或 。否则，利用边界条件齐 次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件。当然，也可以利用叠 加原理将此问题分解为两个问题，其中一个关于x具有齐次边界条 件，而另一个关于y具有齐次边界条件。 例9 求解Dirichlet问题 解 令 ，代入上面方程的齐次形式，可得 可得 和 是 的特征值问题，其解为 将 代入 ，有 该齐次方程有两个线性无关的解 ，由于 也是该齐次方程的两个线性无关的解，所以其通解为 由 所以 所以 所以，原方程的解为 其中 非齐次方程 特解法 设定 待求 拉普拉斯方程 例10: 圆域 * 边界条件 令 * 例11： * 的联立代数方程 * 例11：求下面扇形域上Dirilet定解问题 解 令 ，则上式化为 令 代入上面方程，并结合边界条件，有 （1）便是极坐标方程的特征值问题 求解特征值问题（1） 可得 代入（2），有 由于求的是有界解，所以有 所以有 利用边界条件 有 比较系数有 所以 有 则 例12 求定解问题 解：将原问题变换到极坐标系下： 2. 边界条件 齐次或周期边界条件？ 若否: ①令u v + w x,t ，选w, 使 v 满足齐次边界, 转 3 或 ②令u v + w x ，使v 满足齐次方程齐次边界,转 4 ①令u x,t X x T t , 得到X x 、T t 的常微分方程 ②求X x 、T t 的非零解——求特征值和特征函数 ③将un x,t 迭加 ④由初始条件确定系数Cn ,Dn 4. 齐次方程、齐次或周期边界条件 3. 非齐次方程、齐次或周期边界条件 ①对相应齐次方程按 4 之①②得特征函数系 ②将所有函数按特征函数系展开, 代入定解问题各式 ③解常微分方程初值问题，求出待定函数 1. 适用于各类方程简单区域的混合问题与边值问题 x,t 坐标系: 0 x l, t 0 直角坐标系: 矩形 极坐标系: 圆、圆环、扇形 分离变量法求解步骤 本章小结 定解问题 选择合适的坐标系 边界条件非齐次，转换为齐次边界条件 非齐次方程，齐次边界条件 齐次方程，齐次边界条件 直接用驻波法 非齐次方程，齐次定解条件 固有函数法 应用分离变量法求解定解问题的步骤 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论 1. 存在无穷多个实的特征值，适当调换这些特征值的顺序，可使他们构成一个非递减序列。 2. 所有特征值均不为负。 3. 任意两个不同的特征值，对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交。 4. 特征函数系具有完备正交性，故满足一定条件的函数可以按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数。 记 令 则简谐波 在弦上固定一点x，则 表述了一个振幅为 ，频率 为 ，初相位为 的简谐振动。就整个弦来说，这个简谐波有 如下的显著特点： 例 2 设有一均匀细弦，其线密度为 ，若 端为自由端， 端固定。初始速度和初 始位移都为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为 。求此弦的振动。 解 所求问题为 利用特征函数法求解该问题。 情形1 非共振问题，即 该定解问题的特征值问题为 当 时，方程 的通解为 利用初始条件，求的其解为 将 按特征函数 展开成傅里叶级数，即 令 则有 比较系数有 得 满足 得其齐次方程的通解为 得其齐次方程的通解为 留给同学们计算。 情形2 共振问题，即存在 使得 不妨假设 此时，在情形1中求解所得到的 不 变。当 时，要求解以下问题 其齐次方程通解为 要求原方程的一个特解，需要将自由项换为 ，而求以下问题 的一个特解 令 并带入到上面的非齐次方 程，可得 ，所以有 取其虚部为原方程的一个特解 所以，原方程的通解为 由初始条件确定，可得 代入 例3设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。 解： 弦的振动 振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n 1,2