数学归纳法分析.ppt

* 广东省阳江市第一中学周如钢 ——小明的爸爸有四个小孩 我是一毛 我是二毛 我是三毛 我是谁？ 我不是四毛！我是小明！ 一、归纳法的原理： 大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理，其结论是否正确？ 试验 （1）从大球中取出了5个小球，发现全是红色的。 推理 大球中装的全是红球 判断 考察部分对象，得到一般结论的方法， 叫做不完全归纳法。不完全归纳法得 到的结论不一定正确！ 不完全归纳法和完全归纳法 均称为归纳法。 试验 （2）从大球中取出所有的小球， 推理 大球中装的全是红球 判断 考察全部对象，得到一般结论的方法， 叫做完全归纳法。完全归纳法得到的 结论一定正确！ 发现全是红色的。 在等差数列 中，已知首项为 ，公差为 ， 归纳 思考：下列推理正确吗？ 点评： 这个结论是由不完全归纳法得到的，证明结果 不一定可靠！ 讨论： 如何运用完全归纳法证明上面的等差数列通项 公式是正确的？ 二、讲授新课 其中道理可用于数学证明──数学归纳法. （1）第一张骨牌必须能倒下 （2）假若第k（k≥1）张能倒下 时，一定能推倒紧挨着它的 第k+1张骨牌 （游戏开始的基础） （游戏继续的条件） 分析： 能够使游戏一直连续运行的条件： 类似地，把关于自然数n的命题 看作多米诺骨牌，产生一种符合 运行条件的方法： （递推基础） （递推依据） 由（1）（2）知，游戏可以一直 连续运行。 我们把以上证明关于自然数n的 命题的方法，叫做数学归纳法。 通常n0=1 由（1）（2）知，命题对于一切 的自然数n都正确。 证明：（1）当n=1时， 等式是成立的． （2）假设当n=k时等式成立，就是 那么 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立． 下面用数学归纳法证明等差数列通项公式： 例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）. ? 请问：以上过程正确吗？ ? 证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2， 当n=k+1时：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)2 由①和②可知，对n∈N* ，原等式都成立。 ? 三、例题分析 三、例题分析 例1 用数学归纳法证明 证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立． （2）假设当 时，等式成立，就是 那么 这就是说，当n=k+1时，等式也成立． 由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立． 要证明的 目标是： 1＋3＋5＋… ＋（2k-1）＋[2(k+1)－1]=(k+1)^2 用数学归纳法证明命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确， 证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n 都正确。 用数学归纳法证明: 练习1： 2＋4＋6＋…＋2n＝ ＋n+1(n∈N)的步骤如下： 假设当n＝k时等式成立。 即 2＋4＋6＋…＋2k＝ ＋k＋1 则 2＋4＋6＋…＋2k＋2（k＋1） ＝ ＋k＋1 ＋2（k＋1） ＝ ＋（k＋1）＋1 这就是说，当n＝k＋1时等式成立。 根据数学归纳法2＋4＋6＋…＋2n＝ ＋n+1对n∈N都正确。 评析： 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。 没有步骤（1）命题的成立就失去了基础； 没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！ 证明： 当n=1时，左边＝2，右边＝3，等式不成立； 哪错了？？？ ？ 练习2： C B C (n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（ ）： (1)用数学归纳法证: D 练习3： * 广东省阳江市第一中学周如钢