数学归纳法及其应用举例分析.ppt

第二章 数学归纳法及其应用举例 数学归纳法及其应用举例 教学目标 重点难点 教学内容 随堂练习 课堂总结 课后作业 教学目标 （1）掌握数学归纳法的思想 （2）数学归纳法学习是数列知识的深入与拓展，也是一种重要的数学方法可以使学生学会一种研究数学的科学方法 重点难点 重点：归纳法意义的认识和数学 归纳法产生过程的分析 难点：数学归纳法中递推思想的 理解 演绎推理 推理方法 归纳推理 (一般到特殊) (特殊到一般) 完全归纳 不完全归纳 三段论 教学内容 (1) 不完全归纳法引例 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的． 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比大徒弟聪明． (2) 完全归纳法对比引例 教学内容 例题引入 问题情境一: 问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？ 问题 2: 如果{an}是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d ? 完全归纳法 不完全归纳法 模 拟 演 示 在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么 a1=a1=a1+0?d, a2 =a1+d =a1+1?d, a3 =a2+d =a1+2?d, a4 =a3+d =a1+3?d, …… an=? 归纳 an=a1+(n?1)?d 数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例： 费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。 欧拉(1707～1783)，瑞士数学家及自然科学家。 问题情境二: 不完全归纳法 归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法. 归纳法: （1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法 （2）不完全归纳法:考察部分对象，得到一般结论的推理方法 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法 优点：考查全面，结论正确; 缺点 ：工作量大，有些对象无法全面考查. 优点：考查对象少，得出结论快; 缺点 ：观察片面化，结论不一定正确. 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ ?多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ （1）处理第一个问题； （2）验证前一问题与后一问题有递推关系. （相当于能推倒第一块骨牌） （相当于第K块骨牌能推倒第K+1块骨牌） 问题情境三: 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: （1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确； 假设推理 （3）由（1）、（2）得出结论. 点题 找准起点 奠基要稳 用上假设 递推才真 写明结论 才算完整 一、数学归纳法定义： 例1、是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 解:令n=1,2,并整理得 以下用数学归纳法证明: (1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (1)数学归纳法证明等式问题： 二、数学归纳法应用举例： (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确. 例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且 用数学归纳法证明: 证:(1)当n=1时, =1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立. (2)数学归纳法证明整除问题： 例1、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除. 证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立. (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除. 则当n=2k+2时,有 都能被x+y整除. 故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立. 例、平面内有n (n?2)条直线，任何两条都