数学建模(线性规划)分析.ppt

5 多目标规划* 在过程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的最优问题. 5.1引例 投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿元的资金可用于投资，并由m个项目A1,A2,…,Am可供选择。如果对第i个项目投资的话，需用资ai元，并获得收益ci元，试确定最佳投资方案。 建模举例 投资收益和风险问题。市场上有n种资产(股票、债券等)Si(i=1,2,…,n)供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。公司财务人员对Si种资产进行评估，估算在这一时期内购买Si有平均收益率为ri,并预测出购买Si的损失率为qi.考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中的最大一个风险来度量。 购买Si要付交易费，费率为pi,并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算(不买当然无须付费)。另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险(r0=5%) 已知n=4时的相关数据见表5.1 表5.1 n=4收益率、损失率、费率、给定值 Si ri/% qi/% Pi/% ui/元 S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 S4 25 2.6 6.5 40 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银生息，使净收益尽可能大，风险尽可能小。 问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些合理的模式，切割多少根原料钢管最为节省。而所谓最为节省，可以有两种标准：一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。下面将对这两个目标分别讨论。 2）模型建立。 决策变量：用表示按第种模式切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。 目标函数：以切割后剩余的总余料量最少为目标，则由表3.1可得 z1=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 z2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 下面分别在这两种目标下求解。 3）模型求解 分别将目标函数与约束条件构成整数线性规划模型输入Lindo求解。 2）该客户除需要1）中的三种钢管外还需要10根5m的钢管。应如何下料最节省？ 1）问题分析。按照问题1）的思路，可以通过枚举法首先确定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格增加到4种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍性的方法。 同问题1）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于和等于客户需要的钢管的最小尺寸(本题中为4m)，切割计划中只使用合理的切割模式，而由于本题中的参数都是整数，所以合理的切割模式的余量不能大于3m。此外，这里我们仅选择总根数最少为目标进行求解。 2）模型建立。 决策变量：由于不同切割模式不能超过3种，可以用xi表示按照第i种模式(i=1,2,3)切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产4m,5m,6m和8m的钢管数量分别为r1i,r2i,r3i和r4i(均为非负整数)。 3)模型求解。 以上模型是一个整数非线性规划模型，我们用Lingo软件求解。 0-1整数规划模型 例3.3 指派问题。 在实际工作中，常常会碰到这样的问题：要派n个人去完成n项不同的任务，每人必须而且只需完成其中一项。但由于各人的专长不同，完成各项任务的效率也就不同，因此就产生这样一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使总的效率最高或总的花费时间最少？今欲指派甲、乙、丙、丁四人加工A、B、C、D四种不同零件，每人加工四种零件分别所需要的时间如表3.2所示。问应该指派每人加工何种零件使总的花费时间最少？ 表3.2 工人加工零件的工作效率 A B C D 甲 4 6 5 8 乙 6 10 7 4 丙 7 8 11 9 丁 9 3 8 6 例3.4 选址问题 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，假设三个区共有7个位置点Ai (i=1,2,…,7)可供选择，且规定：东区只能在A1,A2,A3中至多选两个点；西区只能在A4,A5两个点中至少选一个点；南区只能在A6,A7中至少选一个点。 如选用Ai，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元，问在投资不得超过b元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？ 假设投资总额b为1000万元，设备投资估计bi与每项投资每年获利ci,列于表3.3，试求最优选址方案。 表3.3 投资估计