等比数列的概念及其通项公式1详解.ppt

等 比 数 列的概念及其通项公式 1、定义：一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 q 表示。 范例讲解 范例讲解 已知数列 的通项公式为 ，这个数列是等比数列吗？ 分析：用定义法证明 * * 一、新课引入 1、小故事：国际象棋源于古代印度，国王为奖励发明者，答应他的任何要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子放1颗麦粒，在第2个格子放2颗麦粒，在第3个格子放4颗麦粒，在第4个格子放8颗麦粒，依此类推，每个格子都是前面格子的2倍，直到64个格子。请给我足够的粮食实现上述要求。”你认为国王能满足他的要求吗？ 印度国王奖赏国际象棋发明者的实例，得一个数列： 庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。 如果将“一尺之棰”视为单位“1”， 则每日剩下的部分依次为： 等 比 数 列 二、等比数列的定义 （q是常数，n≥2，n∈N*） 数学语言： 或 （q是常数， n∈N* ） (q≠0） 已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？ (2)公比q能不能是1？ 不能 能 思考： 等比数列的任何一项均不能为0. 判别下列数列是否为等比数列? (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 …… (3)2, 2, 2, 2, … (4)1, 0, 1, 0 …… (5) a, a, a, a, a … 练一练 是 不是 是 不是 q = q = …… 不一定 问：什么样的数列既是等差数列又是等比数列？ 非零的 常数列 数列的单调性： 在等比数列的通项公式 中 当 时，等比数列是常数列； 当 时,等比数列是单调递增数列 当 时,等比数列是单调递减数列 当 时，等比数列是摆动数列。 q=1 a10,q1 或a10,0q1 a10,0q1 或a10,q1 q0 例2:求出下列等比数列中的未知项. (1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c, 解： 解得 a=4或a=-4 ? í ì - = = 1 c 2 b 解得 猜一猜？ 如果等比数列 { }的首项是 ,公比是 ,那么这个等比数列的第 项 如何表示? …… ∵ ∴ …… 猜想： an=a1qn-1 通项公式的推导： 把这n－1个等式左右两边同时相乘 即通项公式为：an=a1qn-1 q a a q a a q a a q a a n n = = = = - 1 3 4 2 3 1 2 , , , , ... 因为{an}是等比数列，所以当n≥2时，有 当n=1时，上面的等式也成立 通项公式 数学式 子表示 定 义 等比数列 等差数列 名　称 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示 an+1-an=d an = a1 +（n-1）d 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示 an=a1qn-1 例2.一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和１８，求它的第１项和第２项． 解 ：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有 解得 因此， 答：这个数列的第1项与第2项分别是 小结：等比数列的通项公式其实是一个关于q,a1,n,an四个量的方程，可以“知三求一”。其中体现了“方程”的思想 练习2：在等比数列{an}中： 探究四: 等比数列的图象 探究四: 等比数列的图象