第九章第二节二重积分的计算详解.ppt

第二节：二重积分的计算方法 * （1）在直角坐标系下二重积分的计算 利用几何意义来计算 ，为此假定 f ( x , y ) ? 0 类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线 D D · · · · 和 所围成，即 类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线 D D · · · · 和 所围成，即 特点：用平行于 y 轴的直线由下至上穿过 D 时，与 D 的边界最多只有两个交点。 与 D 的下边界交点称为穿入点，上边界交点称为穿出点 类型 II （Y 型）：D 由直线 y = c , y = d 与曲线 · · · · 和 所围成，即 特点：用平行于 x 轴的直线自左往右穿过 D 时，与 D 的边界最多只有两个交点。 类型 III （混合 型）： 区域 D 即不是 X 型， 也不是 Y 型，则称为混合型，如图所示 将 D 分成三部分，它们 均是 X 型区域。 I II III 注意：有时一个区域可能 即是 X 型，又是 Y 型区 域，如图中的区域 I 假定区域 D 为 X 型，f ( x , y ) ? 0，则二重积分 是 D 上以曲面 z = f ( x , y ) 为顶的曲顶柱体体积 曲边梯形 A ( x ) 的面积为 上式右端的积分称为先对 y 后对 x 的累次积分 如果去掉条件 f ( x , y ) ? 0，上述等式仍然成立 对 y 积分时，将 x 看作常数，积分结果为 x 的 函数 A ( x ) ，然后将 A ( x ) 对 x 积分。 累次积分通常简记为 D X 型区域 D Y 型区域 简记为 若 D 是一边平行于坐标轴的 矩形区域，如图所示，则 D D X 型区域 累次积分的一个几何直观 累次积分法又俗称 “穿线法” 当 D 既是 X 型，又是 Y 型区域时 因此有 D D 解：画积分区域 例2：计算二重积分 其中 D 是由 x = 0 , y = 0 , 与 解（1）画出积分区域 D ，并 确定 D 的类型 （2）根据 D 的类型化二重积分为累次积分 所围成 的第一象限的闭区域。 （3）计算对 y 的积分 （4）计算关于 x 的积分 例3：计算二重积分 其中 D 是由抛物线 解：先画出积分区域 D ， 并确定 D 的类型 方法一：将 D 看做 Y 型区域 及直线 所围成的闭区域。 方法二：将 D 看做 X 型区域 例4：计算二重积分 其中 D 是由曲线 解：先画出积分区域 D ， 并确定 D 的类型 所以曲线 表示以点 ( 0 , 1 ) 为中心 1 为半径的圆的左半部分。 Y 型区域 及直线 所围成的闭区域。 Y 型区域 例5：计算二重积分 解：若把D看作X-型区域： 则 不能算出，因为 不能用初等函数表示 0 1 D 1 D X Y 若把D看作Y-型区域： 则 0 1 D 1 D X Y 例：计算： 解 积分区域分为两块 解: 画出积分区域 D： 原式 例9：试证： 证明：画出积分区域 D 由图可知 D 又可以写成 X 型区域 // 基本思路：根据所给累次积分画出积分区域， 然后根据积分区域交换累次积分的积分次序，即 先 x 后 y 的累次积分 D 上的二重积分 先 y 后 x 的累次积分 计算化简 * * * * *